Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais; integral raiz1-4 x^2 d x

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral integral raiz1 - 4x^2 , dx usando o método de substituição trigonométrica. Esse método é útil para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e fazer uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos a expressão dentro da raiz: 1 - 4x^2. Isso se parece com a forma a^2 - x^2, onde a = 12, porque 4x^2 = (2x)^2. Para integrar algo nessa forma, usamos a substituição trigonométrica:
x = a1 sintheta
No nosso caso:
x = 12 sintheta

Passo 3

Agora, vamos encontrar dx em termos de dtheta. Para isso, derivamos ambos os lados da substituição:
dx = 12 costheta , dtheta

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
integral raiz1 - 4x^2 , dx = integral raiz1 - 4(12 sintheta)^2 cdot 12 costheta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
1 - 4(12)^2 sin^2theta = 1 - sin^2theta = cos^2theta
Então, a integral fica:
integral costheta cdot 12 costheta , dtheta = 12 integral cos^2theta , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos integrar cos^2theta. Usamos a identidade trigonométrica:
cos^2theta = 1 + cos 2theta2
Substituindo na integral:
12 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 14 integral (1 + cos 2theta) , dtheta
Integrando cada termo:
14 ( theta + sin 2theta2 ) + C

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original x. Sabemos que x = 12 sintheta, então:
theta = arcsin(2x)
Também, usando a identidade sin 2theta = 2 sintheta costheta:
sin 2theta = 2 cdot 2x cdot raiz1 - 4x^2 = 4x raiz1 - 4x^2
Substituindo de volta na expressão integrada:
14 ( arcsin(2x) + 4x raiz1 - 4x^22 ) + C = 14 arcsin(2x) + x raiz1 - 4x^22 + C

Resposta

A integral integral raiz1 - 4x^2 , dx é igual a:
14 arcsin(2x) + x raiz1 - 4x^22 + C
onde C é a constante de integração.

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