Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral usando o método de substituição trigonométrica. Esse método é útil para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e fazer uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos a expressão dentro da raiz: . Isso se parece com a forma , onde , porque . Para integrar algo nessa forma, usamos a substituição trigonométrica:
No nosso caso:

Passo 3

Agora, vamos encontrar em termos de . Para isso, derivamos ambos os lados da substituição:

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos integrar . Usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Integrando cada termo:

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original . Sabemos que , então:
Também, usando a identidade :
Substituindo de volta na expressão integrada:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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Calcule as integrais definidas e indefinidas.
(a)