Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral
usando o método de substituição trigonométrica. Esse método é útil para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e fazer uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, identificamos a expressão dentro da raiz:
. Isso se parece com a forma
, onde
, porque
. Para integrar algo nessa forma, usamos a substituição trigonométrica:
No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
em termos de
. Para isso, derivamos ambos os lados da substituição:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Integrando cada termo:
Passo 6
Agora, voltamos para a variável original
. Sabemos que
, então:
Também, usando a identidade
:
Substituindo de volta na expressão integrada:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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(a)
(a)