Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais; integral d xx^2 raiz25-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos radicais envolvendo expressões quadráticas, como . Vamos precisar entender algumas identidades trigonométricas e como fazer a substituição apropriada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que temos uma expressão do tipo x = 5 sin theta , onde . Nesse caso, uma substituição comum é definir . Então, vamos fazer:

Passo 3

Com dx = 5 cos theta , dtheta , precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos integral dxx^2 raiz25 - x^2 = integral 5 cos theta , dtheta(5 sin theta)^2 raiz25 - (5 sin theta)^2 e na integral original:

Passo 5

Simplificando os termos dentro da integral:
raiz25 - (5 sin theta)^2 = raiz25 - 25 sin^2 theta = raiz25(1 - sin^2 theta) = 5 cos theta
Substituindo de volta na integral:
integral 5 cos theta , dtheta25 sin^2 theta cdot 5 cos theta

Passo 6

Cancelando termos semelhantes:
integral 5 cos theta25 sin^2 theta cdot 5 cos theta , dtheta = integral 125 sin^2 theta , dtheta = 125 integral csc^2 theta , dtheta

Passo 7

Sabemos que a integral de integral csc^2 theta , dtheta = -cot theta + C é:
125 (-cot theta) + C = -125 cot theta + C
Então, aplicando isso:

Passo 8

Agora, precisamos retornar à variável original x = 5 sin theta Rightarrow sin theta = x5 . Sabemos que:
cot theta = cos thetasin theta
E, a partir da identidade trigonométrica:
cot theta = raiz25 - x^25x5 = raiz25 - x^2x
Sabemos que
Então:

Resposta

Substituindo de volta, a integral resolve para:
-125 cdot raiz25 - x^2x + C
Ou, simplificando:
-raiz25 - x^225x + C

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