Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos radicais envolvendo expressões quadráticas, como
. Vamos precisar entender algumas identidades trigonométricas e como fazer a substituição apropriada para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que temos uma expressão do tipo
, onde
. Nesse caso, uma substituição comum é definir
. Então, vamos fazer:
Passo 3
Com
, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Simplificando os termos dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Cancelando termos semelhantes:
Passo 7
Sabemos que a integral de
é:
Então, aplicando isso:
Passo 8
Agora, precisamos retornar à variável original
. Sabemos que:
E, a partir da identidade trigonométrica:
Sabemos que
Então:
Resposta
Substituindo de volta, a integral resolve para:
Ou, simplificando: