Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos radicais envolvendo expressões quadráticas, como . Vamos precisar entender algumas identidades trigonométricas e como fazer a substituição apropriada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que temos uma expressão do tipo , onde . Nesse caso, uma substituição comum é definir . Então, vamos fazer:

Passo 3

Com , precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

Simplificando os termos dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Cancelando termos semelhantes:

Passo 7

Sabemos que a integral de é:
Então, aplicando isso:

Passo 8

Agora, precisamos retornar à variável original . Sabemos que:
E, a partir da identidade trigonométrica:
Sabemos que
Então:

Resposta

Substituindo de volta, a integral resolve para:
Ou, simplificando:

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