Estabeleça o domínio de casa uma das funções abaixo e explique, usando propriedades de funções contínuas, por que cada função é contínua em todo seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função e explicar por que essa função é contínua em todo o seu domínio usando propriedades de funções contínuas. Para isso, vamos precisar entender o que é domínio, como encontrar restrições para funções que envolvem radicais e frações, e o que significa uma função ser contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os números para os quais a função está definida. No caso da nossa função, temos uma fração e uma raiz quadrada, então precisamos garantir que o denominador não seja zero e que o que está dentro da raiz quadrada seja não-negativo.
Passo 3
Vamos analisar a parte de baixo da fração, que é . Para que a raiz quadrada seja definida nos números reais, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero:
Passo 4
Resolvendo a inequação:
Então, deve estar entre -2 e 2.
Passo 5
Além disso, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não está definida. Então, precisamos garantir que:
Passo 6
Juntando as duas condições, temos que deve estar entre -2 e 2, mas sem incluir -2 e 2. Portanto, o domínio da função é:
Passo 7
Agora, vamos falar sobre a continuidade da função em todo o seu domínio. Uma função é contínua em seu domínio se não houver “saltos”, “buracos” ou “assíntotas” dentro desse intervalo.
Passo 8
Nossa função é composta por duas partes: o numerador , que é uma função linear contínua, e o denominador , que também é contínuo no domínio que encontramos. Como tanto o numerador quanto o denominador são contínuos e o denominador nunca é zero dentro do domínio, a função inteira é contínua em todo o seu domínio.
Resposta
O domínio da função é . A função é contínua em todo esse domínio porque tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas, e o denominador nunca é zero dentro desse intervalo.