Estabelecer um número adimensional, sabendo-se que ele é uma função da aceleração da gravidade g, da tensão superficial sigma, da viscosidade absoluta mu e da massa específica rho.
Resp.: Número =K(sigma^3 rho / g mu^4)^d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estabelecer um número adimensional que depende da aceleração da gravidade ( g), da tensão superficial ( sigma), da viscosidade absoluta ( mu) e da massa específica ( rho). Isso está dentro da matéria de Análise Dimensional, onde usamos as dimensões físicas das grandezas para criar combinações que resultam em números sem unidades. Vamos precisar aplicar o Teorema de Buckingham Pi para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada uma das variáveis envolvidas:
  • Aceleração da gravidade ( g):
    • Dimensões: [g] = LT^-2
  • Tensão superficial ( sigma):
    • Dimensões: [sigma] = MT^-2
  • Viscosidade absoluta ( mu):
    • Dimensões: [mu] = ML^-1T^-1
  • Massa específica ( rho):
    • Dimensões: [rho] = ML^-3
Aqui, L representa comprimento, M massa e T tempo.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a encontrar combinações adimensionais dessas variáveis. A ideia é formar um produto das variáveis elevadas a potências desconhecidas que resultem em um número sem dimensões. Vamos supor que o número adimensional ( Pi) seja da forma:
Pi = g^a cdot sigma^b cdot mu^c cdot rho^d
Onde a, b, c e d são expoentes que precisamos determinar.

Passo 4

Em seguida, igualamos as dimensões do lado esquerdo e direito da equação. Como Pi é adimensional, temos:
[g^a cdot sigma^b cdot mu^c cdot rho^d] = L^0M^0T^0
Substituindo pelas dimensões de cada variável:
(LT^-2)^a cdot (MT^-2)^b cdot (ML^-1T^-1)^c cdot (ML^-3)^d = L^0M^0T^0

Passo 5

Agora, vamos combinar as potências das mesmas dimensões:
Para L (comprimento):
a + (-c) + (-3d) = 0 (Equação 1) çã
Para M (massa):
b + c + d = 0 (Equação 2) çã
Para T (tempo):
-2a -2b -c = 0 (Equação 3) çã

Passo 6

Temos um sistema de três equações com quatro incógnitas ( a, b, c, d):
  1. a - c - 3d = 0
  2. b + c + d = 0
  3. -2a - 2b - c = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre os expoentes.

Passo 7

Da Equação 2:
b + c + d = 0 Rightarrow b = -c - d
Substituímos b nas outras equações.
Na Equação 3:
-2a - 2(-c - d) - c = 0 -2a + 2c + 2d - c = 0 -2a + c + 2d = 0 Rightarrow 2a = c + 2d (Equação 4) çã
Da Equação 1:
a - c - 3d = 0 Rightarrow a = c + 3d (Equação 5) çã

Passo 8

Substituímos a da Equação 5 na Equação 4:
2(c + 3d) = c + 2d 2c + 6d = c + 2d 2c - c + 6d - 2d = 0 c + 4d = 0 Rightarrow c = -4d

Passo 9

Agora que sabemos que c = -4d, substituímos de volta para encontrar a e b:
De Equação 5:
a = c + 3d = -4d + 3d = -d
De Equação 2:
b = -c - d = 4d - d = 3d
Portanto, temos:
  • a = -d
  • b = 3d
  • c = -4d

Passo 10

Agora podemos expressar o número adimensional Pi com esses valores:
Pi = g^a cdot sigma^b cdot mu^c cdot rho^d = g^-d cdot sigma^3d cdot mu^-4d cdot rho^d
Podemos fatorar d:
Pi = ( sigma^3 rhog mu^4 )^d

Resposta

O número adimensional é dado por:
Pi = K ( sigma^3 rhog mu^4 )^d
Onde K é uma constante adimensional e d é um expoente que depende das relações estabelecidas durante a análise dimensional.

Exercícios relacionados