Estabelecer um número adimensional, sabendo-se que ele é uma função da aceleração da gravidade
, da tensão superficial
, da viscosidade absoluta
e da massa específica
.
Resp.: Número
.
Resp.: Número
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estabelecer um número adimensional que depende da aceleração da gravidade (
), da tensão superficial (
), da viscosidade absoluta (
) e da massa específica (
). Isso está dentro da matéria de Análise Dimensional, onde usamos as dimensões físicas das grandezas para criar combinações que resultam em números sem unidades. Vamos precisar aplicar o Teorema de Buckingham Pi para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada uma das variáveis envolvidas:
-
Aceleração da gravidade (
): - Dimensões:
- Dimensões:
-
Tensão superficial (
): - Dimensões:
- Dimensões:
-
Viscosidade absoluta (
): - Dimensões:
- Dimensões:
-
Massa específica (
): - Dimensões:
- Dimensões:
Aqui,
representa comprimento,
massa e
tempo.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a encontrar combinações adimensionais dessas variáveis. A ideia é formar um produto das variáveis elevadas a potências desconhecidas que resultem em um número sem dimensões. Vamos supor que o número adimensional (
) seja da forma:
Onde
,
,
e
são expoentes que precisamos determinar.
Passo 4
Em seguida, igualamos as dimensões do lado esquerdo e direito da equação. Como
é adimensional, temos:
Substituindo pelas dimensões de cada variável:
Passo 5
Agora, vamos combinar as potências das mesmas dimensões:
Para
(comprimento):
Para
(massa):
Para
(tempo):
Passo 6
Temos um sistema de três equações com quatro incógnitas (
,
,
,
):
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre os expoentes.
Passo 7
Da Equação 2:
Substituímos
nas outras equações.
Na Equação 3:
Da Equação 1:
Passo 8
Substituímos
da Equação 5 na Equação 4:
Passo 9
Agora que sabemos que
, substituímos de volta para encontrar
e
:
De Equação 5:
De Equação 2:
Portanto, temos:
Passo 10
Agora podemos expressar o número adimensional
com esses valores:
Podemos fatorar
:
Resposta
O número adimensional é dado por:
Onde
é uma constante adimensional e
é um expoente que depende das relações estabelecidas durante a análise dimensional.