Estabelecer um número adimensional, sabendo-se que ele é uma função da aceleração da gravidade , da tensão superficial , da viscosidade absoluta e da massa específica .
Resp.: Número .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estabelecer um número adimensional que depende da aceleração da gravidade ( ), da tensão superficial ( ), da viscosidade absoluta ( ) e da massa específica ( ). Isso está dentro da matéria de Análise Dimensional, onde usamos as dimensões físicas das grandezas para criar combinações que resultam em números sem unidades. Vamos precisar aplicar o Teorema de Buckingham Pi para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada uma das variáveis envolvidas:
  • Aceleração da gravidade ( ):
    • Dimensões:
  • Tensão superficial ( ):
    • Dimensões:
  • Viscosidade absoluta ( ):
    • Dimensões:
  • Massa específica ( ):
    • Dimensões:
Aqui, representa comprimento, massa e tempo.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a encontrar combinações adimensionais dessas variáveis. A ideia é formar um produto das variáveis elevadas a potências desconhecidas que resultem em um número sem dimensões. Vamos supor que o número adimensional ( ) seja da forma:
Onde , , e são expoentes que precisamos determinar.

Passo 4

Em seguida, igualamos as dimensões do lado esquerdo e direito da equação. Como é adimensional, temos:
Substituindo pelas dimensões de cada variável:

Passo 5

Agora, vamos combinar as potências das mesmas dimensões:
Para (comprimento):
çã
Para (massa):
çã
Para (tempo):
çã

Passo 6

Temos um sistema de três equações com quatro incógnitas ( , , , ):
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre os expoentes.

Passo 7

Da Equação 2:
Substituímos nas outras equações.
Na Equação 3:
çã
Da Equação 1:
çã

Passo 8

Substituímos da Equação 5 na Equação 4:

Passo 9

Agora que sabemos que , substituímos de volta para encontrar e :
De Equação 5:
De Equação 2:
Portanto, temos:

Passo 10

Agora podemos expressar o número adimensional com esses valores:
Podemos fatorar :

Resposta

O número adimensional é dado por:
Onde é uma constante adimensional e é um expoente que depende das relações estabelecidas durante a análise dimensional.

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