No estado fundamental do átomo de hidrogênio, o polinômio de Laguerre é L10=1 e a função de onda pode ser escrita como psi100=C100 e^-r / a0. Normalize C100.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o estado fundamental do átomo de hidrogênio. A questão nos dá a função de onda psi100 = C100 e^-r / a0 e pede para normalizar a constante C100. Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica Quântica, especificamente a normalização de funções de onda em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. Normalizar psi quer dizer ajustar a constante C100 de modo que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o espaço seja igual a 1. Matematicamente, isso se expressa pela condição:
integral0^infty integral0^pi integral0^2pi |psi100|^2 , r^2 sin theta , dphi , dtheta , dr = 1

Passo 3

Vamos substituir psi100 na equação:
integral0^infty integral0^pi integral0^2pi |C100 e^-r / a0|^2 , r^2 sin theta , dphi , dtheta , dr = 1
Como C100 é uma constante real, podemos tirar o módulo:
|C100|^2 integral0^infty e^-2r / a0 , r^2 , dr integral0^pi sin theta , dtheta integral0^2pi dphi = 1

Passo 4

Vamos resolver as integrais separadamente. A integral sobre phi é fácil:
integral0^2pi dphi = 2pi
E a integral sobre theta:
integral0^pi sin theta , dtheta = 2

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral sobre r:
integral0^infty e^-2r / a0 , r^2 , dr
Fazendo uma substituição x = 2ra0, temos r = a0x2 e dr = a02 dx. Substituindo na integral:
(a02)^3 integral0^infty x^2 e^-x dx = (a02)^3 cdot 2 = a0^34
(A integral integral0^infty x^2 e^-x dx é igual a 2!)

Passo 6

Juntando tudo, temos:
|C100|^2 cdot a0^34 cdot 2 cdot 2pi = 1
Simplificando:
|C100|^2 cdot a0^34 cdot 4pi = 1 implies |C100|^2 cdot pi a0^3 = 1

Passo 7

Resolvendo para C100:
|C100|^2 = 1pi a0^3 implies C100 = 1raizpi a0^3

Resposta

A constante normalizadora é C100 = dfrac1raizpi, a0^3.

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