No estado fundamental do átomo de hidrogênio, o polinômio de Laguerre é
e a função de onda pode ser escrita como
. Normalize
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o estado fundamental do átomo de hidrogênio. A questão nos dá a função de onda
e pede para normalizar a constante
. Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica Quântica, especificamente a normalização de funções de onda em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. Normalizar
quer dizer ajustar a constante
de modo que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o espaço seja igual a 1. Matematicamente, isso se expressa pela condição:
Passo 3
Vamos substituir
na equação:
Como
é uma constante real, podemos tirar o módulo:
Passo 4
Vamos resolver as integrais separadamente. A integral sobre
é fácil:
E a integral sobre
:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral sobre
:
Fazendo uma substituição
, temos
e
. Substituindo na integral:
(A integral
é igual a 2!)
Passo 6
Juntando tudo, temos:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
A constante normalizadora é
.