O estado inicial de uma partícula é dado por
onde .
© Determine o valor médio e a incerteza da posição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com uma função de onda inicial que está definida em um intervalo entre e , e é zero fora desse intervalo. O conteúdo aqui é da Mecânica Quântica, especificamente sobre como calcular o valor médio (esperança matemática) e a incerteza da posição dessa partícula. Para resolver, vamos precisar entender como calcular esses valores a partir da função de onda.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função de onda está normalizada. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso é:
Como é diferente de zero apenas entre e , a integral fica:

Passo 3

Como (pois o módulo de uma exponencial imaginária pura é 1), simplificamos para:
A integral de de a é simplesmente , então:
Assumindo real, temos .

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor médio da posição, , que é dado por:
Substituindo :

Passo 5

Simplificando, os termos exponenciais se cancelam (pois ):
A integral de de a é:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular , que é:
A integral de de a é:
Então:

Passo 7

A incerteza na posição, , é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Então:
Calculando o termo dentro da raiz:
Portanto:

Resposta

O valor médio da posição é e a incerteza na posição é .

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