O estado inicial de uma partícula é dado por
onde
.
© Determine o valor médio e a incerteza da posição.
© Determine o valor médio e a incerteza da posição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com uma função de onda inicial
que está definida em um intervalo entre
e
, e é zero fora desse intervalo. O conteúdo aqui é da Mecânica Quântica, especificamente sobre como calcular o valor médio (esperança matemática) e a incerteza da posição dessa partícula. Para resolver, vamos precisar entender como calcular esses valores a partir da função de onda.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda está normalizada. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso é:
Como
é diferente de zero apenas entre
e
, a integral fica:
Passo 3
Como
(pois o módulo de uma exponencial imaginária pura é 1), simplificamos para:
A integral de
de
a
é simplesmente
, então:
Assumindo
real, temos
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor médio da posição,
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
Simplificando, os termos exponenciais se cancelam (pois
):
A integral de
de
a
é:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular
, que é:
A integral de
de
a
é:
Então:
Passo 7
A incerteza na posição,
, é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Então:
Calculando o termo dentro da raiz:
Portanto:
Resposta
O valor médio da posição é
e a incerteza na posição é
.
Exercícios relacionados
Levando em conta o modelo de Bohr:
(b) Os valores da constante de Rydberg para o hidrogênio e para o íon de hélio, levando em conta as massas reduzidas, são respectivamente, e
10972226,3
. Sabendo que a relação entre as massas dos núcleos desses elementos é
, calcule a razão entre a massa do próton e a massa do elétron.
(b) Os valores da constante de Rydberg para o hidrogênio e para o íon de hélio, levando em conta as massas reduzidas, são respectivamente,
Responda os questionamentos a seguir, a respeito do debate sobre a natureza da radiação e da matéria ao longo dos séculos:
(b) Quais argumentos eram usados pelos defensores da natureza ondulatória da luz, para defender essa ideia? (como Huygens, Young e Fresnel…)
(b) Quais argumentos eram usados pelos defensores da natureza ondulatória da luz, para defender essa ideia? (como Huygens, Young e Fresnel…)
O estado inicial de uma partícula de massa
, confinada no intervalo
, em um campo conservativo, é dado por
onde
é a energia.
(e) Determine a relação de incerteza entre posição e momentum.
(e) Determine a relação de incerteza entre posição e momentum.
Se a Terra parasse repentinamente em sua órbita assumida circular, encontre o tempo que demoraria para ela cair no sol.