O estado inicial de uma partícula é dado por
Psi(x, 0)= A exp [i k0(x-x0)] & (x0x0+a),
onde k0=2 pi / lambda0.
© Determine o valor médio e a incerteza da posição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com uma função de onda inicial que está definida em um intervalo entre e , e é zero fora desse intervalo. O conteúdo aqui é da Mecânica Quântica, especificamente sobre como calcular o valor médio (esperança matemática) e a incerteza da posição dessa partícula. Para resolver, vamos precisar entender como calcular esses valores a partir da função de onda.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função de onda está normalizada. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso é:
integral-infty^infty |Psi(x, 0)|^2 dx = 1
Como integralx0^x0 + a |A e^i k0 (x - x0)|^2 dx = 1 é diferente de zero apenas entre e , a integral fica:

Passo 3

Como |A|^2 integralx0^x0 + a dx = 1 (pois o módulo de uma exponencial imaginária pura é 1), simplificamos para:
|A|^2 cdot a = 1 implies |A|^2 = 1a
A integral de de a é simplesmente , então:
Assumindo real, temos .

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor médio da posição, lang<= x rang<= = integral-infty^infty Psi^*(x, 0) , x , Psi(x, 0) , dx , que é dado por:
lang<= x rang<= = integralx0^x0 + a (1raiza e^-i k0 (x - x0)) x (1raiza e^i k0 (x - x0)) dx
Substituindo :

Passo 5

Simplificando, os termos exponenciais se cancelam (pois lang<= x rang<= = 1a integralx0^x0 + a x , dx ):
integralx0^x0 + a x , dx = [x^22]x0^x0 + a = (x0 + a)^22 - x0^22 = 2x0 a + a^22 = x0 a + a^22
A integral de lang<= x rang<= = 1a (x0 a + a^22) = x0 + a2 de a é:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty Psi^*(x, 0) , x^2 , Psi(x, 0) , dx = 1a integralx0^x0 + a x^2 , dx , que é:
integralx0^x0 + a x^2 , dx = [x^33]x0^x0 + a = (x0 + a)^33 - x0^33 = 3x0^2 a + 3x0 a^2 + a^33 = x0^2 a + x0 a^2 + a^33
A integral de lang<= x^2 rang<= = 1a (x0^2 a + x0 a^2 + a^33) = x0^2 + x0 a + a^23 de a é:
Então:

Passo 7

A incerteza na posição, De, é dada por:
lang<= x rang<= = x0 + a2
Substituindo os valores que encontramos:
lang<= x^2 rang<= = x0^2 + x0 a + a^23
De
Então:
(x0 + a2)^2 = x0^2 + x0 a + a^24
Calculando o termo dentro da raiz:
De
Portanto:

Resposta

O valor médio da posição é e a incerteza na posição é .

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