O estado inicial de uma partícula é dado por
onde
.
© Determine o valor médio e a incerteza da posição.
© Determine o valor médio e a incerteza da posição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com uma função de onda inicial
que está definida em um intervalo entre
e
, e é zero fora desse intervalo. O conteúdo aqui é da Mecânica Quântica, especificamente sobre como calcular o valor médio (esperança matemática) e a incerteza da posição dessa partícula. Para resolver, vamos precisar entender como calcular esses valores a partir da função de onda.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda está normalizada. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso é:
Como
é diferente de zero apenas entre
e
, a integral fica:
Passo 3
Como
(pois o módulo de uma exponencial imaginária pura é 1), simplificamos para:
A integral de
de
a
é simplesmente
, então:
Assumindo
real, temos
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor médio da posição,
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
Simplificando, os termos exponenciais se cancelam (pois
):
A integral de
de
a
é:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular
, que é:
A integral de
de
a
é:
Então:
Passo 7
A incerteza na posição,
, é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Então:
Calculando o termo dentro da raiz:
Portanto:
Resposta
O valor médio da posição é
e a incerteza na posição é
.