O estado inicial de uma partícula de massa , confinada no intervalo , em um campo conservativo, é dado por
onde é a energia.
(e) Determine a relação de incerteza entre posição e momentum.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma partícula de massa confinada no intervalo e nos dá a função de onda inicial:
A matéria envolvida aqui é a Mecânica Quântica, mais especificamente o princípio da incerteza de Heisenberg entre posição e momentum. Vamos precisar calcular as incertezas de posição ( ) e momentum ( ) para essa partícula e encontrar a relação entre elas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a função de onda dada. A função de onda descreve o estado quântico da partícula no tempo . A parte indica que a partícula está em um dos estados estacionários de um poço de potencial infinito (partícula em uma caixa), e é a constante de normalização.

Passo 3

Para encontrar a constante de normalização , usamos a condição de que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo seja 1:
Substituindo :
Sabemos que:
Aplicando isso no nosso caso, com :

Passo 4

Agora, vamos calcular a incerteza na posição . A incerteza é dada por:
Primeiro, calculamos :
Devido à simetria da função seno no intervalo a , .

Passo 5

Em seguida, calculamos :
Substituindo :
Essa integral pode ser resolvida usando identidades trigonométricas e técnicas de integração, resultando em:

Passo 6

Agora, calculamos :

Passo 7

Agora, vamos calcular a incerteza no momentum . Primeiro, precisamos encontrar e . A incerteza é dada por:
Para o estado estacionário, devido à simetria, então:

Passo 8

Calculando :
Onde . Aplicando isso na função de onda e realizando a integração, obtemos:
Então:

Resposta

A relação de incerteza entre posição e momentum para a partícula é:
Portanto, , o que satisfaz o princípio da incerteza de Heisenberg que nos diz que .

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onde .
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