O estado inicial de uma partícula de massa m, confinada no intervalo 0, em um campo conservativo, é dado por
Psi(x, 0)=A sin (pi xa) e^-i E t / hbar
onde E é a energia.
(e) Determine a relação de incerteza entre posição e momentum.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma partícula de massa Psi(x, 0) = A sin(pi xa) e^-i E t / hbar confinada no intervalo e nos dá a função de onda inicial:
A matéria envolvida aqui é a Mecânica Quântica, mais especificamente o princípio da incerteza de Heisenberg entre posição e momentum. Vamos precisar calcular as incertezas de posição ( ) e momentum ( ) para essa partícula e encontrar a relação entre elas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a função de onda dada. A função de onda descreve o estado quântico da partícula no tempo . A parte indica que a partícula está em um dos estados estacionários de um poço de potencial infinito (partícula em uma caixa), e é a constante de normalização.

Passo 3

Para encontrar a constante de normalização integral0^a |Psi(x, 0)|^2 dx = 1 , usamos a condição de que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo |A|^2 integral0^a sin^2(pi xa) dx = 1 seja 1:
integral sin^2(kx) dx = x2 - sin(2kx)4k + C
Substituindo |A|^2 [ a2 ] = 1 Rightarrow |A|^2 = 2a Rightarrow A = raiz2a :
Sabemos que:
Aplicando isso no nosso caso, com :

Passo 4

Agora, vamos calcular a incerteza na posição De. A incerteza lang<= x rang<= = integral0^a x |Psi(x, 0)|^2 dx é dada por:
Primeiro, calculamos :
Devido à simetria da função seno no intervalo a , .

Passo 5

Em seguida, calculamos lang<= x^2 rang<= = integral0^a x^2 |Psi(x, 0)|^2 dx :
lang<= x^2 rang<= = 2a integral0^a x^2 sin^2(pi xa) dx
Substituindo lang<= x^2 rang<= = a^23 - a^22 pi^2 :
Essa integral pode ser resolvida usando identidades trigonométricas e técnicas de integração, resultando em:

Passo 6

Agora, calculamos De:

Passo 7

Agora, vamos calcular a incerteza no momentum De. Primeiro, precisamos encontrar De e . A incerteza é dada por:
Para o estado estacionário, devido à simetria, então:

Passo 8

Calculando lang<= p^2 rang<= = integral0^a Psi^*(x, 0) p^2 Psi(x, 0) dx :
lang<= p^2 rang<= = (pi hbara)^2
Onde De. Aplicando isso na função de onda e realizando a integração, obtemos:
Então:

Resposta

A relação de incerteza entre posição e momentum para a partícula é:
De
Portanto, , o que satisfaz o princípio da incerteza de Heisenberg que nos diz que .

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