O estado inicial de uma partícula de massa
, confinada no intervalo
, em um campo conservativo, é dado por
onde
é a energia.
(e) Determine a relação de incerteza entre posição e momentum.
(e) Determine a relação de incerteza entre posição e momentum.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma partícula de massa
confinada no intervalo
e nos dá a função de onda inicial:
A matéria envolvida aqui é a Mecânica Quântica, mais especificamente o princípio da incerteza de Heisenberg entre posição e momentum. Vamos precisar calcular as incertezas de posição (
) e momentum (
) para essa partícula e encontrar a relação entre elas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a função de onda dada. A função de onda
descreve o estado quântico da partícula no tempo
. A parte
indica que a partícula está em um dos estados estacionários de um poço de potencial infinito (partícula em uma caixa), e
é a constante de normalização.
Passo 3
Para encontrar a constante de normalização
, usamos a condição de que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo
seja 1:
Substituindo
:
Sabemos que:
Aplicando isso no nosso caso, com
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a incerteza na posição
. A incerteza
é dada por:
Primeiro, calculamos
:
Devido à simetria da função seno no intervalo
a
,
.
Passo 5
Em seguida, calculamos
:
Substituindo
:
Essa integral pode ser resolvida usando identidades trigonométricas e técnicas de integração, resultando em:
Passo 6
Agora, calculamos
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a incerteza no momentum
. Primeiro, precisamos encontrar
e
. A incerteza
é dada por:
Para o estado estacionário,
devido à simetria, então:
Passo 8
Calculando
:
Onde
. Aplicando isso na função de onda e realizando a integração, obtemos:
Então:
Resposta
A relação de incerteza entre posição e momentum para a partícula é:
Portanto,
, o que satisfaz o princípio da incerteza de Heisenberg que nos diz que
.
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O estado inicial de uma partícula é dado por
onde
.
© Determine o valor médio e a incerteza da posição.
© Determine o valor médio e a incerteza da posição.
Levando em conta o modelo de Bohr:
(b) Os valores da constante de Rydberg para o hidrogênio e para o íon de hélio, levando em conta as massas reduzidas, são respectivamente, e
10972226,3
. Sabendo que a relação entre as massas dos núcleos desses elementos é
, calcule a razão entre a massa do próton e a massa do elétron.
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