Levando em conta o modelo de Bohr:
(b) Os valores da constante de Rydberg para o hidrogênio e para o íon de hélio, levando em conta as massas reduzidas, são respectivamente, RH(H)=10967757,6 m^-1 e RH(H e)= 10972226,3 m^-1. Sabendo que a relação entre as massas dos núcleos desses elementos é MH e=3,9726 MH, calcule a razão entre a massa do próton e a massa do elétron.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o modelo de Bohr, que é uma teoria para explicar como os elétrons se comportam ao redor do núcleo de um átomo. No caso, a questão nos dá os valores da constante de Rydberg para o hidrogênio e para o íon de hélio, levando em conta as massas reduzidas. Além disso, sabemos a relação entre as massas dos núcleos desses elementos. O que a gente precisa descobrir é a razão entre a massa do próton e a massa do elétron.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a constante de Rydberg. No modelo de Bohr, a constante de Rydberg R = Rinfty ( mume ) está relacionada à massa reduzida do sistema, que no caso do hidrogênio e do íon de hélio, envolve as massas do núcleo e do elétron. A fórmula básica da constante de Rydberg é:
Onde:
  • é a constante de Rydberg para massa infinita,
  • é a massa reduzida,
  • é a massa do elétron.

Passo 3

A massa reduzida mu = me Mme + M é calculada pela fórmula:
Onde é a massa do núcleo (próton no hidrogênio e núcleo de hélio no íon de hélio).

Passo 4

Vamos aplicar isso para o hidrogênio. Sabemos que a constante de Rydberg para o hidrogênio é:
RH(H) = 10.967.757,6 , m^-1
Usando a fórmula da constante de Rydberg:
RH(H) = Rinfty ( muHme )
E para o íon de hélio:
RH(He) = 10.972.226,3 , m^-1 = Rinfty ( muHeme )

Passo 5

Sabemos que a massa do núcleo de hélio é , onde é a massa do próton. Queremos encontrar a razão .

Passo 6

Vamos dividir as duas equações das constantes de Rydberg:
RH(He)RH(H) = muHemuH
Substituindo os valores:
10.972.226,310.967.757,6 = me cdot 3,9726 MHme + 3,9726 MHme MHme + MH

Passo 7

Simplificando a equação:
10.972.226,310.967.757,6 = 3,97261 + 3,9726 MHme cdot 1 + MHme1
Isso simplifica para uma relação que podemos resolver para .

Passo 8

Resolvendo a equação, chegamos a:
MHme approx 1836

Resposta

A razão entre a massa do próton e a massa do elétron é aproximadamente 1836.

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