Se a Terra parasse repentinamente em sua órbita assumida circular, encontre o tempo que demoraria para ela cair no sol.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo gravitação. A Terra, que atualmente está orbitando o Sol em um caminho circular, para de repente nessa órbita. A pergunta é: quanto tempo a Terra levaria para cair no Sol depois disso? Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e um pouco de cálculo para descobrir o tempo de queda livre.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a força gravitacional entre a Terra e o Sol é o que mantém a Terra em órbita. Se a Terra parar de orbitar, essa força vai começar a puxá-la diretamente para o Sol. A força gravitacional é dada pela fórmula:
F = G cdot M cdot mR^2
Onde:
  • é a constante gravitacional ( ),
  • é a massa do Sol ( ),
  • é a massa da Terra ( ),
  • é a distância entre a Terra e o Sol ( ).

Passo 3

Agora, como queremos encontrar o tempo que a Terra leva para cair no Sol, precisamos pensar no movimento da Terra em direção ao Sol sob a ação dessa força gravitacional. Isso é um caso de queda livre com aceleração variável, já que a força gravitacional muda conforme a Terra se aproxima do Sol.
A equação do movimento é dada por:
d^2Rdt^2 = -G cdot MR^2
Essa é uma equação diferencial que relaciona a posição da Terra ao tempo .

Passo 4

Para resolver essa equação, podemos usar uma solução conhecida para esse tipo de problema. O tempo de queda T = pi2 raizR^32 G M para a Terra partir do repouso até atingir o Sol é dado por:
Essa fórmula vem da resolução da equação diferencial de movimento sob a força gravitacional.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
  • R^3 = (1,496 times 10^11)^3 = 3,35 times 10^33 , m^3
  • 2 G M = 2 times 6,674 times 10^-11 times 1,989 times 10^30 = 2,655 times 10^20 , m^3/s^2
  • R^32 G M = 3,35 times 10^332,655 times 10^20 = 1,261 times 10^13 , s^2
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos raizR^32 G M = raiz1,261 times 10^13 = 3,55 times 10^6 , s :
T = pi2 times 3,55 times 10^6 approx 5,57 times 10^6 , s
Depois, calculamos :
Agora, dividimos por :
Em seguida, tiramos a raiz quadrada desse valor:
Por fim, multiplicamos por :

Resposta

A Terra levaria aproximadamente segundos para cair no Sol, o que equivale a cerca de 64 dias e 8 horas.

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