Se a Terra parasse repentinamente em sua órbita assumida circular, encontre o tempo que demoraria para ela cair no sol.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo gravitação. A Terra, que atualmente está orbitando o Sol em um caminho circular, para de repente nessa órbita. A pergunta é: quanto tempo a Terra levaria para cair no Sol depois disso? Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e um pouco de cálculo para descobrir o tempo de queda livre.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a força gravitacional entre a Terra e o Sol é o que mantém a Terra em órbita. Se a Terra parar de orbitar, essa força vai começar a puxá-la diretamente para o Sol. A força gravitacional é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa do Sol ( ), -
é a massa da Terra ( ), -
é a distância entre a Terra e o Sol ( ).
Passo 3
Agora, como queremos encontrar o tempo que a Terra leva para cair no Sol, precisamos pensar no movimento da Terra em direção ao Sol sob a ação dessa força gravitacional. Isso é um caso de queda livre com aceleração variável, já que a força gravitacional muda conforme a Terra se aproxima do Sol.
A equação do movimento é dada por:
Essa é uma equação diferencial que relaciona a posição da Terra
ao tempo
.
Passo 4
Para resolver essa equação, podemos usar uma solução conhecida para esse tipo de problema. O tempo de queda
para a Terra partir do repouso até atingir o Sol é dado por:
Essa fórmula vem da resolução da equação diferencial de movimento sob a força gravitacional.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
Agora, dividimos
por
:
Em seguida, tiramos a raiz quadrada desse valor:
Por fim, multiplicamos por
:
Resposta
A Terra levaria aproximadamente
segundos para cair no Sol, o que equivale a cerca de 64 dias e 8 horas.
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, confinada no intervalo
, em um campo conservativo, é dado por
onde
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(e) Determine a relação de incerteza entre posição e momentum.
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onde
.
© Determine o valor médio e a incerteza da posição.
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