O estado inicial de uma partícula de massa
, confinada no intervalo
, em um campo conservativo, é dado por
onde
é a energia.
(d) Determine os valores médios da posição e momentum;
(d) Determine os valores médios da posição e momentum;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores médios da posição e do momentum de uma partícula. Estamos trabalhando com a matéria de Mecânica Quântica, mais especificamente com estados estacionários e operadores de observáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os valores médios usando integrais envolvendo a função de onda da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor médio da posição, que é denotado por ⟨x⟩. Na Mecânica Quântica, o valor médio de uma quantidade observável é calculado usando a integral do produto da função de onda complexa, a quantidade que queremos medir e a função de onda novamente. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir a função de onda dada no enunciado:
O complexo conjugado de Ψ é:
Multiplicando Ψ* por Ψ:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na integral para ⟨x⟩:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 5
Resolvendo a integral:
A primeira integral é simples:
A segunda integral pode ser resolvida por partes, mas, por simetria e com a função par, ela se anula. Então:
Passo 6
Agora, precisamos determinar a constante de normalização A. A função de onda deve satisfazer:
Então:
Usando a mesma identidade trigonométrica:
Substituindo de volta em ⟨x⟩:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor médio do momentum ⟨p⟩. Na Mecânica Quântica, o operador de momentum é dado por:
Então, o valor médio é:
Passo 8
Vamos calcular a derivada da função de onda:
Então:
Passo 9
Usando a identidade trigonométrica:
A integral fica:
Porque a integral de uma função seno completa em seu período é zero.
Passo 10
Portanto:
Resposta
O valor médio da posição é
e o valor médio do momentum é
.