O estado inicial de uma partícula de massa , confinada no intervalo , em um campo conservativo, é dado por
onde é a energia.
(d) Determine os valores médios da posição e momentum;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores médios da posição e do momentum de uma partícula. Estamos trabalhando com a matéria de Mecânica Quântica, mais especificamente com estados estacionários e operadores de observáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os valores médios usando integrais envolvendo a função de onda da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor médio da posição, que é denotado por ⟨x⟩. Na Mecânica Quântica, o valor médio de uma quantidade observável é calculado usando a integral do produto da função de onda complexa, a quantidade que queremos medir e a função de onda novamente. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir a função de onda dada no enunciado:
O complexo conjugado de Ψ é:
Multiplicando Ψ* por Ψ:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral para ⟨x⟩:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:

Passo 5

Resolvendo a integral:
A primeira integral é simples:
A segunda integral pode ser resolvida por partes, mas, por simetria e com a função par, ela se anula. Então:

Passo 6

Agora, precisamos determinar a constante de normalização A. A função de onda deve satisfazer:
Então:
Usando a mesma identidade trigonométrica:
Substituindo de volta em ⟨x⟩:

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor médio do momentum ⟨p⟩. Na Mecânica Quântica, o operador de momentum é dado por:
Então, o valor médio é:

Passo 8

Vamos calcular a derivada da função de onda:
Então:

Passo 9

Usando a identidade trigonométrica:
A integral fica:
Porque a integral de uma função seno completa em seu período é zero.

Passo 10

Portanto:

Resposta

O valor médio da posição é e o valor médio do momentum é .

Exercícios relacionados

Dois meios dielétricos com constantes dielétricos e estão separados por uma interface plana. Nāo há carga externa sobre a interface. Encontre uma relação entre os ângulos e , em que estes sejam os ângulos formados por uma linha arbitrária de deslocamento com a normal à interface: no meio no meio 2 .
Levando em conta o modelo de Bohr:
(a) Deduza a fórmula da constante de Rydberg
Responda os questionamentos a seguir, a respeito do debate sobre a natureza da radiação e da matéria ao longo dos séculos:
(b) Quais argumentos eram usados pelos defensores da natureza ondulatória da luz, para defender essa ideia? (como Huygens, Young e Fresnel…)
Levando em conta o modelo de Bohr:
(b) Os valores da constante de Rydberg para o hidrogênio e para o íon de hélio, levando em conta as massas reduzidas, são respectivamente, e 10972226,3 . Sabendo que a relação entre as massas dos núcleos desses elementos é , calcule a razão entre a massa do próton e a massa do elétron.