O estado inicial de uma partícula de massa m, confinada no intervalo 0, em um campo conservativo, é dado por
Psi(x, 0)=A sin (pi xa) e^-i E t / hbar
onde E é a energia.
(d) Determine os valores médios da posição e momentum;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores médios da posição e do momentum de uma partícula. Estamos trabalhando com a matéria de Mecânica Quântica, mais especificamente com estados estacionários e operadores de observáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os valores médios usando integrais envolvendo a função de onda da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor médio da posição, que é denotado por ⟨x⟩. Na Mecânica Quântica, o valor médio de uma quantidade observável é calculado usando a integral do produto da função de onda complexa, a quantidade que queremos medir e a função de onda novamente. Então, temos:
lang<= x rang<= = integral0^a Psi^*(x,0) , x , Psi(x,0) , dx

Passo 3

Agora, vamos substituir a função de onda dada no enunciado:
Psi(x,0) = A sin(pi xa) e^-i E t / hbar
O complexo conjugado de Ψ é:
Psi^*(x,0) = A sin(pi xa) e^i E t / hbar
Multiplicando Ψ* por Ψ:
Psi^*(x,0) Psi(x,0) = A^2 sin^2(pi xa)

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral para ⟨x⟩:
lang<= x rang<= = A^2 integral0^a sin^2(pi xa) x , dx
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
Então, a integral fica:
lang<= x rang<= = A^22 integral0^a (1 - cos(2pi xa)) x , dx

Passo 5

Resolvendo a integral:
lang<= x rang<= = A^22 [ integral0^a x , dx - integral0^a x cos(2pi xa) dx ]
A primeira integral é simples:
integral0^a x , dx = a^22
A segunda integral pode ser resolvida por partes, mas, por simetria e com a função par, ela se anula. Então:
lang<= x rang<= = A^22 cdot a^22 = A^2 a^24

Passo 6

Agora, precisamos determinar a constante de normalização A. A função de onda deve satisfazer:
integral0^a |Psi(x,0)|^2 dx = 1
Então:
A^2 integral0^a sin^2(pi xa) dx = 1
Usando a mesma identidade trigonométrica:
A^2 cdot a2 = 1 Rightarrow A^2 = 2a
Substituindo de volta em ⟨x⟩:
lang<= x rang<= = 2a cdot a^24 = a2

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor médio do momentum ⟨p⟩. Na Mecânica Quântica, o operador de momentum é dado por:
p = -i hbar ddx
Então, o valor médio é:
lang<= p rang<= = integral0^a Psi^*(x,0) (-i hbar ddx) Psi(x,0) dx

Passo 8

Vamos calcular a derivada da função de onda:
ddx Psi(x,0) = A cdot pia cos(pi xa) e^-i E t / hbar
Então:
lang<= p rang<= = -i hbar A^2 pia integral0^a sin(pi xa) cos(pi xa) dx

Passo 9

Usando a identidade trigonométrica:
sintheta costheta = sin(2theta)2
A integral fica:
integral0^a sin(2pi xa)2 dx = 0
Porque a integral de uma função seno completa em seu período é zero.

Passo 10

Portanto:
lang<= p rang<= = 0

Resposta

O valor médio da posição é lang<= x rang<= = a2 e o valor médio do momentum é lang<= p rang<= = 0.

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