Levando em conta o modelo de Bohr:
(a) Deduza a fórmula da constante de Rydberg
(a) Deduza a fórmula da constante de Rydberg
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala sobre o modelo de Bohr, que é uma teoria que explica como os elétrons orbitam o núcleo dos átomos. Nosso objetivo é deduzir a fórmula da constante de Rydberg, que é uma constante importante na física para descrever as linhas espectrais dos átomos. Para isso, vamos precisar entender as forças envolvidas no modelo de Bohr e usar algumas fórmulas básicas da física.
Passo 2
No modelo de Bohr, o elétron gira ao redor do núcleo em órbitas circulares. Para que o elétron fique nessa órbita estável, a força centrípeta que mantém o elétron na trajetória deve ser igual à força eletrostática de atração entre o elétron e o próton no núcleo. Vamos igualar essas duas forças.
Passo 3
A força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita é dada por:
Onde:
-
é a massa do elétron, -
é a velocidade do elétron, -
é o raio da órbita.
Passo 4
A força eletrostática entre o elétron e o próton é dada pela Lei de Coulomb:
Onde:
-
é a carga do elétron, -
é a constante de permissividade do vácuo, -
é novamente o raio da órbita.
Passo 5
Como as duas forças devem ser iguais para o elétron permanecer na órbita, temos:
Podemos simplificar essa equação multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
No modelo de Bohr, o momento angular do elétron é quantizado e dado por:
Onde:
-
é o número quântico principal (inteiro), -
é a constante de Planck reduzida ( ).
Vamos isolar
:
Passo 7
Substituindo
da equação do momento angular na equação da força, temos:
Simplificando:
Passo 8
Vamos isolar
:
Extraindo a raiz:
Passo 9
A energia total do elétron na órbita é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Substituindo
da equação anterior:
Passo 10
Substituindo
da etapa anterior na equação de energia:
Simplificando:
Passo 11
A constante de Rydberg
está relacionada à energia pelas transições entre níveis de energia:
Comparando com a equação obtida, identificamos:
Passo 12
Considerando a massa reduzida
do sistema (elétron-núcleo), a constante de Rydberg geral fica:
Resposta
Portanto, deduzimos que a constante de Rydberg é dada por:
Exercícios relacionados
Responda os questionamentos a seguir, a respeito do debate sobre a natureza da radiação e da matéria ao longo dos séculos:
(a) Quais argumentos eram usados pelos defensores da natureza corpuscular da luz, para defender essa ideia? (como Newton)
(a) Quais argumentos eram usados pelos defensores da natureza corpuscular da luz, para defender essa ideia? (como Newton)
Uma fina barra de dielétrico de seção reta
estende-se ao longo do eixo
de
a
. A polarizaçâo da barra dá-se ao longo de seu comprimento e é dada por
. Encontre a densidade volumétrica da carga de polarização e a carga superficial de polarização em cada extremidade. Demonstre explicitamente que a carga total de polarização se anula neste caso.
Dois meios dielétricos com constantes dielétricos
e
estão separados por uma interface plana. Nāo há carga externa sobre a interface. Encontre uma relação entre os ângulos
e
, em que estes sejam os ângulos formados por uma linha arbitrária de deslocamento com a normal à interface:
no meio
no meio 2 .
O estado inicial de uma partícula de massa
, confinada no intervalo
, em um campo conservativo, é dado por
onde
é a energia.
(d) Determine os valores médios da posição e momentum;
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