Levando em conta o modelo de Bohr:
(a) Deduza a fórmula da constante de Rydberg
RH=pi^2 e^42 h^3 mu

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala sobre o modelo de Bohr, que é uma teoria que explica como os elétrons orbitam o núcleo dos átomos. Nosso objetivo é deduzir a fórmula da constante de Rydberg, que é uma constante importante na física para descrever as linhas espectrais dos átomos. Para isso, vamos precisar entender as forças envolvidas no modelo de Bohr e usar algumas fórmulas básicas da física.

Passo 2

No modelo de Bohr, o elétron gira ao redor do núcleo em órbitas circulares. Para que o elétron fique nessa órbita estável, a força centrípeta que mantém o elétron na trajetória deve ser igual à força eletrostática de atração entre o elétron e o próton no núcleo. Vamos igualar essas duas forças.

Passo 3

A força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita é dada por:
Fc = m v^2r
Onde:
  • é a massa do elétron,
  • é a velocidade do elétron,
  • é o raio da órbita.

Passo 4

A força eletrostática entre o elétron e o próton é dada pela Lei de Coulomb:
Fe = e^24 pi epsilon0 r^2
Onde:
  • é a carga do elétron,
  • é a constante de permissividade do vácuo,
  • é novamente o raio da órbita.

Passo 5

Como as duas forças devem ser iguais para o elétron permanecer na órbita, temos:
m v^2r = e^24 pi epsilon0 r^2
Podemos simplificar essa equação multiplicando ambos os lados por m v^2 r = e^24 pi epsilon0 :

Passo 6

No modelo de Bohr, o momento angular do elétron é quantizado e dado por:
m v r = n hbar
Onde:
  • v = n hbarm r é o número quântico principal (inteiro),
  • é a constante de Planck reduzida ( ).
Vamos isolar :

Passo 7

Substituindo m ( n hbarm r )^2 r = e^24 pi epsilon0 da equação do momento angular na equação da força, temos:
n^2 hbar^2m r^2 = e^24 pi epsilon0
Simplificando:

Passo 8

Vamos isolar r^2 = 4 pi epsilon0 n^2 hbar^2m e^2 :
r = 2 pi epsilon0 n^2 hbar^2m e^2
Extraindo a raiz:

Passo 9

A energia total do elétron na órbita é a soma da energia cinética e da energia potencial:
E = 12 m v^2 - e^24 pi epsilon0 r
Substituindo E = n^2 hbar^22 m r^2 - e^24 pi epsilon0 r da equação anterior:

Passo 10

Substituindo E = n^2 hbar^22 m ( 4 pi epsilon0 n^2 hbar^2m e^2 ) - e^24 pi epsilon0 ( 4 pi epsilon0 n^2 hbar^2m e^2 ) da etapa anterior na equação de energia:
E = -m e^42 (4 pi epsilon0)^2 hbar^2 n^2
Simplificando:

Passo 11

A constante de Rydberg E = -RH hc ( 1n^2 ) está relacionada à energia pelas transições entre níveis de energia:
RH = m e^48 epsilon0^2 h^3 c
Comparando com a equação obtida, identificamos:

Passo 12

Considerando a massa reduzida RH = pi^2 e^42 h^3 mu do sistema (elétron-núcleo), a constante de Rydberg geral fica:

Resposta

Portanto, deduzimos que a constante de Rydberg é dada por:
RH=pi^2 e^42 h^3 mu

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