Levando em conta o modelo de Bohr:
(a) Deduza a fórmula da constante de Rydberg
(a) Deduza a fórmula da constante de Rydberg
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala sobre o modelo de Bohr, que é uma teoria que explica como os elétrons orbitam o núcleo dos átomos. Nosso objetivo é deduzir a fórmula da constante de Rydberg, que é uma constante importante na física para descrever as linhas espectrais dos átomos. Para isso, vamos precisar entender as forças envolvidas no modelo de Bohr e usar algumas fórmulas básicas da física.
Passo 2
No modelo de Bohr, o elétron gira ao redor do núcleo em órbitas circulares. Para que o elétron fique nessa órbita estável, a força centrípeta que mantém o elétron na trajetória deve ser igual à força eletrostática de atração entre o elétron e o próton no núcleo. Vamos igualar essas duas forças.
Passo 3
A força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita é dada por:
Onde:
-
é a massa do elétron, -
é a velocidade do elétron, -
é o raio da órbita.
Passo 4
A força eletrostática entre o elétron e o próton é dada pela Lei de Coulomb:
Onde:
-
é a carga do elétron, -
é a constante de permissividade do vácuo, -
é novamente o raio da órbita.
Passo 5
Como as duas forças devem ser iguais para o elétron permanecer na órbita, temos:
Podemos simplificar essa equação multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
No modelo de Bohr, o momento angular do elétron é quantizado e dado por:
Onde:
-
é o número quântico principal (inteiro), -
é a constante de Planck reduzida ( ).
Vamos isolar
:
Passo 7
Substituindo
da equação do momento angular na equação da força, temos:
Simplificando:
Passo 8
Vamos isolar
:
Extraindo a raiz:
Passo 9
A energia total do elétron na órbita é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Substituindo
da equação anterior:
Passo 10
Substituindo
da etapa anterior na equação de energia:
Simplificando:
Passo 11
A constante de Rydberg
está relacionada à energia pelas transições entre níveis de energia:
Comparando com a equação obtida, identificamos:
Passo 12
Considerando a massa reduzida
do sistema (elétron-núcleo), a constante de Rydberg geral fica:
Resposta
Portanto, deduzimos que a constante de Rydberg é dada por: