Levando em conta o modelo de Bohr:
(a) Deduza a fórmula da constante de Rydberg

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala sobre o modelo de Bohr, que é uma teoria que explica como os elétrons orbitam o núcleo dos átomos. Nosso objetivo é deduzir a fórmula da constante de Rydberg, que é uma constante importante na física para descrever as linhas espectrais dos átomos. Para isso, vamos precisar entender as forças envolvidas no modelo de Bohr e usar algumas fórmulas básicas da física.

Passo 2

No modelo de Bohr, o elétron gira ao redor do núcleo em órbitas circulares. Para que o elétron fique nessa órbita estável, a força centrípeta que mantém o elétron na trajetória deve ser igual à força eletrostática de atração entre o elétron e o próton no núcleo. Vamos igualar essas duas forças.

Passo 3

A força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita é dada por:
Onde:
  • é a massa do elétron,
  • é a velocidade do elétron,
  • é o raio da órbita.

Passo 4

A força eletrostática entre o elétron e o próton é dada pela Lei de Coulomb:
Onde:
  • é a carga do elétron,
  • é a constante de permissividade do vácuo,
  • é novamente o raio da órbita.

Passo 5

Como as duas forças devem ser iguais para o elétron permanecer na órbita, temos:
Podemos simplificar essa equação multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

No modelo de Bohr, o momento angular do elétron é quantizado e dado por:
Onde:
  • é o número quântico principal (inteiro),
  • é a constante de Planck reduzida ( ).
Vamos isolar :

Passo 7

Substituindo da equação do momento angular na equação da força, temos:
Simplificando:

Passo 8

Vamos isolar :
Extraindo a raiz:

Passo 9

A energia total do elétron na órbita é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Substituindo da equação anterior:

Passo 10

Substituindo da etapa anterior na equação de energia:
Simplificando:

Passo 11

A constante de Rydberg está relacionada à energia pelas transições entre níveis de energia:
Comparando com a equação obtida, identificamos:

Passo 12

Considerando a massa reduzida do sistema (elétron-núcleo), a constante de Rydberg geral fica:

Resposta

Portanto, deduzimos que a constante de Rydberg é dada por:

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