Um estado onde há um grande número de residências na zona rural, tem
dessas residências seguradas contra incêndio. Sorteia-se 8 residências ao acaso, com reposição. Se X é o número de residências seguradas contra incêndio, calcule:
b. O número esperado e a variância do número de residências não seguradas contra incêndio.
b. O número esperado e a variância do número de residências não seguradas contra incêndio.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um monte de casas na zona rural, e 60% delas estão seguradas contra incêndio. A gente vai sortear 8 dessas casas, uma de cada vez, e com reposição (ou seja, cada sorteio é independente). Queremos descobrir o número esperado e a variância de casas não seguradas contra incêndio.
Aqui, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente a distribuição binomial, que é útil quando lidamos com experimentos com sucessos e fracassos repetidos de forma independente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa variável aleatória. Seja
o número de residências não seguradas contra incêndio nas 8 escolhidas. Como 60% estão seguradas, isso significa que 40% não estão seguradas. Então, a probabilidade de uma casa não estar segurada é
.
Passo 3
Como estamos sorteando 8 casas com reposição, cada sorteio é independente. Isso nos permite modelar
usando a distribuição binomial. A distribuição binomial é adequada aqui porque temos um número fixo de tentativas (8 casas), cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (segurada ou não segurada), e a probabilidade de sucesso (não estar segurada) é a mesma em cada tentativa.
Passo 4
A fórmula para o valor esperado (média) de uma distribuição binomial é:
Onde:
-
(número de tentativas) -
(probabilidade de uma casa não estar segurada)
Passo 5
Vamos calcular o valor esperado:
Isso significa que, em média, esperamos que 3,2 casas das 8 sorteadas não estejam seguradas contra incêndio.
Passo 6
Agora, vamos calcular a variância de
. A fórmula para a variância em uma distribuição binomial é:
Onde:
Passo 7
Aplicando os valores na fórmula:
A variância nos dá uma ideia de quão dispersos os valores de
estão em torno da média. No caso, a variância é 1,92.
Resposta
O número esperado de residências não seguradas é
e a variância é
.