Um estado onde há um grande número de residências na zona rural, tem
dessas residências seguradas contra incêndio. Sorteia-se 8 residências ao acaso, com reposição. Se X é o número de residências seguradas contra incêndio, calcule:
a. A probabilidade de que pelo menos 3 dessas 8 residências tenham seguro contra incêndio.
a. A probabilidade de que pelo menos 3 dessas 8 residências tenham seguro contra incêndio.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem uma situação onde 60% das residências na zona rural estão seguradas contra incêndio. A gente vai sortear 8 residências ao acaso, com reposição (isso significa que cada sorteio é independente, tipo trocar a carta depois de tirar). Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de pelo menos 3 dessas 8 residências terem seguro contra incêndio. A matéria que vamos usar aqui é probabilidade binomial, que serve pra calcular a chance de um certo número de “sucessos” em várias tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é probabilidade binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas, cada tentativa tem duas possibilidades (sucesso ou fracasso), as tentativas são independentes, e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada uma. No nosso caso:
- Número de tentativas (n): 8 residências sorteadas
- Probabilidade de sucesso §: 60%, ou seja, 0,6 (residência segurada)
- Sucesso: uma residência estar segurada contra incêndio
Queremos saber a probabilidade de pelo menos 3 residências estarem seguradas, ou seja, P(X ≥ 3).
Passo 3
Calcular P(X ≥ 3) diretamente pode ser um pouco trabalhoso, então vamos usar a fórmula complementar. Isso significa que vamos calcular primeiro a probabilidade de ter menos de 3 residências seguradas (ou seja, 0, 1 ou 2 residências) e depois subtrair esse valor de 1.
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da probabilidade binomial:
Onde:
-
é a combinação de n elementos tomados k a k.
Vamos calcular cada termo:
- P(X = 0)
- P(X = 1)
- P(X = 2)
Passo 5
Agora, somamos essas probabilidades:
Passo 6
Finalmente, subtraímos esse valor de 1 para encontrar a probabilidade de pelo menos 3 residências estarem seguradas:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 3 das 8 residências sorteadas tenham seguro contra incêndio é aproximadamente 95,1%.