Um estado onde há um grande número de residências na zona rural, tem 60 % dessas residências seguradas contra incêndio. Sorteia-se 8 residências ao acaso, com reposição. Se X é o número de residências seguradas contra incêndio, calcule:
a. A probabilidade de que pelo menos 3 dessas 8 residências tenham seguro contra incêndio.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem uma situação onde 60% das residências na zona rural estão seguradas contra incêndio. A gente vai sortear 8 residências ao acaso, com reposição (isso significa que cada sorteio é independente, tipo trocar a carta depois de tirar). Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de pelo menos 3 dessas 8 residências terem seguro contra incêndio. A matéria que vamos usar aqui é probabilidade binomial, que serve pra calcular a chance de um certo número de “sucessos” em várias tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é probabilidade binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas, cada tentativa tem duas possibilidades (sucesso ou fracasso), as tentativas são independentes, e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada uma. No nosso caso:
  • Número de tentativas (n): 8 residências sorteadas
  • Probabilidade de sucesso §: 60%, ou seja, 0,6 (residência segurada)
  • Sucesso: uma residência estar segurada contra incêndio
Queremos saber a probabilidade de pelo menos 3 residências estarem seguradas, ou seja, P(X ≥ 3).

Passo 3

Calcular P(X ≥ 3) diretamente pode ser um pouco trabalhoso, então vamos usar a fórmula complementar. Isso significa que vamos calcular primeiro a probabilidade de ter menos de 3 residências seguradas (ou seja, 0, 1 ou 2 residências) e depois subtrair esse valor de 1.
Então:
P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da probabilidade binomial:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • binom80 times 0,6^0 times 0,4^8 = 1 times 1 times 0,4^8 é a combinação de n elementos tomados k a k.
Vamos calcular cada termo:
  1. P(X = 0)
= 0,4^8 approx 0,00065536
binom81 times 0,6^1 times 0,4^7 = 8 times 0,6 times 0,4^7
  1. P(X = 1)
= 8 times 0,6 times 0,0016384 approx 0,00786432
binom82 times 0,6^2 times 0,4^6 = 28 times 0,36 times 0,004096
  1. P(X = 2)
= 28 times 0,36 times 0,004096 approx 0,04147

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
approx 0,00065536 + 0,00786432 + 0,04147
approx 0,049

Passo 6

Finalmente, subtraímos esse valor de 1 para encontrar a probabilidade de pelo menos 3 residências estarem seguradas:
P(X >= 3) = 1 - 0,049
P(X >= 3) approx 0,951

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 3 das 8 residências sorteadas tenham seguro contra incêndio é aproximadamente 95,1%.

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