Quantos são os números de quatro algarismos (não necessariamente distintos) formados com os dígitos 2,3,4,5,6,7,8 que são divisíveis por cinco e menores que 7.000 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir quantos números de quatro algarismos podemos formar usando os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. Esses números têm que ser divisíveis por cinco e menores que 7.000. Para resolver isso, vamos analisar cada posição do número (milhar, centenas, dezenas e unidades) e ver quais dígitos podem ocupar cada lugar seguindo essas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na regra da divisibilidade por cinco. Um número é divisível por cinco se o seu último dígito (a unidade) for 0 ou 5. Mas, olha só, os dígitos que a gente pode usar são 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. Não tem o 0 aí, então a única opção possível para a unidade é o 5. Isso significa que o último dígito do número tem que ser sempre 5.

Passo 3

Agora, vamos garantir que o número seja menor que 7.000. Isso quer dizer que o primeiro dígito (da milhar) precisa ser menor que 7. Dos dígitos que a gente pode usar (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), os que são menores que 7 são: 2, 3, 4, 5 e 6. Então, temos 5 opções para o dígito da milhar.

Passo 4

As posições das centenas e das dezenas não têm restrições além de usarmos os dígitos permitidos (2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8). Como os dígitos podem se repetir, cada uma dessas posições tem 7 opções possíveis.

Passo 5

Agora, vamos multiplicar as possibilidades de cada posição para encontrar o total de números que atendem às condições:
  • Milhar: 5 opções
  • Centenas: 7 opções
  • Dezenas: 7 opções
  • Unidades: 1 opção (sempre 5)
Então, o cálculo fica assim:
5 times 7 times 7 times 1 = 245

Resposta

Existem 245 números que satisfazem as condições.

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