Estão planejadas seis missões espaciais independentes para a lua. A probabilidade estimada de sucesso em cada missão é 0,95. Qual é a probabilidade de que pelo menos cinco das missões planejadas sejam bem-sucedidas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de probabilidade juntos! A gente tem seis missões espaciais independentes para a lua, e cada uma tem 95% de chance de dar certo. Queremos descobrir qual é a probabilidade de pelo menos cinco dessas missões serem bem-sucedidas. Para isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é ótimo para calcular probabilidades em situações com um número fixo de tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos cinco missões serem bem-sucedidas”. Isso inclui dois cenários:
- Exatamente cinco missões dão certo.
- Todas as seis missões dão certo.
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários e depois somar os resultados.
Passo 3
A Distribuição Binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas: sucesso ou falha. A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente
sucessos em
tentativas é:
Onde:
-
é o número de combinações de itens tomados a , -
é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa, -
é a probabilidade de falha.
Passo 4
Vamos calcular primeiro a probabilidade de exatamente cinco missões serem bem-sucedidas (
):
Calculando cada parte:
-
(pois há 6 maneiras de escolher 5 missões de 6), -
é a probabilidade de cinco sucessos, -
é a probabilidade de uma falha.
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de todas as seis missões serem bem-sucedidas (
):
Simplificando:
-
, -
.
Então:
Passo 6
Agora, somamos as probabilidades dos dois cenários para encontrar a probabilidade de pelo menos cinco missões serem bem-sucedidas:
Passo 7
Vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, calculemos
e
:
Agora, substituímos na equação:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos cinco das seis missões planejadas sejam bem-sucedidas é aproximadamente 96,72%.