Estão planejadas seis missões espaciais independentes para a lua. A probabilidade estimada de sucesso em cada missão é 0,95. Qual é a probabilidade de que pelo menos cinco das missões planejadas sejam bem-sucedidas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de probabilidade juntos! A gente tem seis missões espaciais independentes para a lua, e cada uma tem 95% de chance de dar certo. Queremos descobrir qual é a probabilidade de pelo menos cinco dessas missões serem bem-sucedidas. Para isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é ótimo para calcular probabilidades em situações com um número fixo de tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos cinco missões serem bem-sucedidas”. Isso inclui dois cenários:
  1. Exatamente cinco missões dão certo.
  2. Todas as seis missões dão certo.
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários e depois somar os resultados.

Passo 3

A Distribuição Binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas: sucesso ou falha. A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k sucessos em tentativas é:
Onde:
  • é o número de combinações de itens tomados a ,
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa,
  • é a probabilidade de falha.

Passo 4

Vamos calcular primeiro a probabilidade de exatamente cinco missões serem bem-sucedidas ( P(X = 5) = binom65 cdot (0.95)^5 cdot (0.05)^1 ):
P(X = 5) = 6 cdot (0.95)^5 cdot 0.05
Calculando cada parte:
  • (pois há 6 maneiras de escolher 5 missões de 6),
  • é a probabilidade de cinco sucessos,
  • é a probabilidade de uma falha.
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de todas as seis missões serem bem-sucedidas ( P(X = 6) = binom66 cdot (0.95)^6 cdot (0.05)^0 ):
P(X = 6) = 1 cdot (0.95)^6 cdot 1 = (0.95)^6
Simplificando:
  • ,
  • .
Então:

Passo 6

Agora, somamos as probabilidades dos dois cenários para encontrar a probabilidade de pelo menos cinco missões serem bem-sucedidas:
P(X >= 5) = P(X = 5) + P(X = 6) = 6 cdot (0.95)^5 cdot 0.05 + (0.95)^6

Passo 7

Vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, calculemos (0.95)^5 approx 0.7737809375 e (0.95)^6 approx 0.7350918906 :
P(X >= 5) = 6 cdot 0.7737809375 cdot 0.05 + 0.7350918906
P(X >= 5) = 6 cdot 0.038689046875 + 0.7350918906
Agora, substituímos na equação:
P(X >= 5) approx 0.23213428125 + 0.7350918906
P(X >= 5) approx 0.9672261719

Resposta

A probabilidade de que pelo menos cinco das seis missões planejadas sejam bem-sucedidas é aproximadamente 96,72%.

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