Um processo de produção que fabrica transistores opera, na média, com fração de defeituosos de 2 %. A cada duas horas extrai-se uma amostra aleatória de tamanho 50 do processo. Se a amostra contiver mais de dois defeituosos, o processo deve ser interrompido. Determine a probabilidade de que o processo seja interrompido em função desse esquema de amostragem.

Passo 1

Então, temos um processo que fabrica transistores com 2% de chance de defeituosos. A cada duas horas, tiramos uma amostra de 50 transistores. Se nessa amostra tiver mais de dois defeituosos, a produção para. Vamos usar probabilidade para descobrir a chance de isso acontecer.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma distribuição binomial. Isso porque cada transistor pode ser defeituoso ou não, com probabilidade fixa, e cada transistor é independente dos outros.

Passo 3

Na distribuição binomial, a fórmula para a probabilidade de exatamente P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k sucessos em tentativas é:
Aqui, , e queremos saber a probabilidade de mais de 2 defeituosos, ou seja, .

Passo 4

Para encontrar P(X > 2) = 1 - P(X <= 2) , podemos calcular 1 menos a probabilidade de ter no máximo 2 defeituosos:

Passo 5

Agora, calculamos P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) somando as probabilidades de ter 0, 1 e 2 defeituosos:

Passo 6

Calculamos cada termo usando a fórmula binomial:
P(X=0) = binom500 (0,02)^0 (0,98)^50 = 1 times 1 times (0,98)^50 approx 0,364
P(X=1) = binom501 (0,02)^1 (0,98)^49 = 50 times 0,02 times (0,98)^49 approx 0,372
P(X=2) = binom502 (0,02)^2 (0,98)^48 = 1225 times 0,0004 times (0,98)^48 approx 0,188

Passo 7

Somamos essas probabilidades:
P(X <= 2) approx 0,364 + 0,372 + 0,188 = 0,924

Passo 8

Finalmente, calculamos P(X > 2) = 1 - 0,924 = 0,076 :

Resposta

A probabilidade de que o processo seja interrompido é de aproximadamente .

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