Um processo deveria produzir mesas com 0,85 m de altura. O engenheiro desconfia que as mesas que estão sendo produzidas são menores que o especificado. Uma amostra de 8 mesas foi coletada e indicou média 0,847 m. Sabendo que o desvio padrão é sigma=0,010 m, teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância de 3 %.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá dizendo. A gente tem um processo que deveria produzir mesas com altura média de 0,85 m. O engenheiro suspeita que as mesas estão ficando menores que isso. Então, ele coletou uma amostra de 8 mesas e mediu a altura média dessa amostra, que deu 0,847 m. Sabendo que o desvio padrão da produção é sigma = 0,010 m, a gente vai testar a hipótese do engenheiro usando um nível de significância de 3%. Para isso, vamos usar o teste de hipótese para a média com distribuição normal, já que conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses do teste:
  • Hipótese Nula ( H0): A média das mesas é igual a 0,85 m.
    H0: mu = 0,85 m
  • Hipótese Alternativa ( H1): A média das mesas é menor que 0,85 m.
    H1: mu < 0,85 m
Esse é um teste unilateral à esquerda, porque estamos verificando se a média é menor que o valor especificado.

Passo 3

O próximo passo é definir o nível de significância, que é a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira. No caso, o nível de significância é de 3% ou alpha = 0,03.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico, que no caso é o Z-score. A fórmula para o Z-score quando conhecemos o desvio padrão da população é:
Z = barx - mu0sigma / raizn
Onde:
  • barx = 0,847 m (média amostral)
  • mu0 = 0,85 m (média hipotética)
  • sigma = 0,010 m (desvio padrão da população)
  • n = 8 (tamanho da amostra)
Vamos substituir os valores:
Z = 0,847 - 0,850,010 / raiz8
Calculando o denominador:
0,010 / raiz8 approx 0,003536
Então:
Z = -0,0030,003536 approx -0,848

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o valor crítico do Z para o nível de significância de 3%. Como é um teste unilateral à esquerda, procuramos o valor de Z que deixa 3% na cauda esquerda da distribuição normal.
Consultando uma tabela de valores de Z ou usando uma calculadora, temos:
Zalpha approx -1,88

Passo 6

Agora, comparamos o Z calculado com o valor crítico:
  • Z calculado: -0,848
  • Z crítico: -1,88
Como -0,848 > -1,88, não caímos na região de rejeição. Isso significa que não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de 3%, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que a média das mesas produzidas é menor que 0,85 m.

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