Um processo deveria produzir mesas com de altura. O engenheiro desconfia que as mesas que estão sendo produzidas são menores que o especificado. Uma amostra de 8 mesas foi coletada e indicou média . Sabendo que o desvio padrão é , teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância de .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá dizendo. A gente tem um processo que deveria produzir mesas com altura média de . O engenheiro suspeita que as mesas estão ficando menores que isso. Então, ele coletou uma amostra de 8 mesas e mediu a altura média dessa amostra, que deu . Sabendo que o desvio padrão da produção é , a gente vai testar a hipótese do engenheiro usando um nível de significância de . Para isso, vamos usar o teste de hipótese para a média com distribuição normal, já que conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses do teste:
  • Hipótese Nula ( ): A média das mesas é igual a .
  • Hipótese Alternativa ( ): A média das mesas é menor que .
Esse é um teste unilateral à esquerda, porque estamos verificando se a média é menor que o valor especificado.

Passo 3

O próximo passo é definir o nível de significância, que é a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira. No caso, o nível de significância é de ou .

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico, que no caso é o Z-score. A fórmula para o Z-score quando conhecemos o desvio padrão da população é:
Onde:
  • (média amostral)
  • (média hipotética)
  • (desvio padrão da população)
  • (tamanho da amostra)
Vamos substituir os valores:
Calculando o denominador:
Então:

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o valor crítico do Z para o nível de significância de . Como é um teste unilateral à esquerda, procuramos o valor de Z que deixa na cauda esquerda da distribuição normal.
Consultando uma tabela de valores de Z ou usando uma calculadora, temos:

Passo 6

Agora, comparamos o Z calculado com o valor crítico:
  • Z calculado:
  • Z crítico:
Como , não caímos na região de rejeição. Isso significa que não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de , não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que a média das mesas produzidas é menor que .

Exercícios relacionados

Numa pesquisa de mercado para estudar a preferência da população de uma cidade em relação ao consumo de um determinado produto, colheu-se uma amostra aleatória de 300 consumidores da cidade e observou-se que 180 consumiam o produto. Determinar um IC de para a proporção populacional de consumidores do produto.
Uma população tem um desvio padrão igual a 10 e média desconhecida. Uma amostra de tamanho é retirada e fornece uma média . Qual o intervalo de de confiança para a média desta população?
Um processo de produção que fabrica transistores opera, na média, com fração de defeituosos de . A cada duas horas extrai-se uma amostra aleatória de tamanho 50 do processo. Se a amostra contiver mais de dois defeituosos, o processo deve ser interrompido. Determine a probabilidade de que o processo seja interrompido em função desse esquema de amostragem.
Estão planejadas seis missões espaciais independentes para a lua. A probabilidade estimada de sucesso em cada missão é 0,95. Qual é a probabilidade de que pelo menos cinco das missões planejadas sejam bem-sucedidas?