Um processo deveria produzir mesas com
de altura. O engenheiro desconfia que as mesas que estão sendo produzidas são menores que o especificado. Uma amostra de 8 mesas foi coletada e indicou média
. Sabendo que o desvio padrão é
, teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá dizendo. A gente tem um processo que deveria produzir mesas com altura média de
. O engenheiro suspeita que as mesas estão ficando menores que isso. Então, ele coletou uma amostra de 8 mesas e mediu a altura média dessa amostra, que deu
. Sabendo que o desvio padrão da produção é
, a gente vai testar a hipótese do engenheiro usando um nível de significância de
. Para isso, vamos usar o teste de hipótese para a média com distribuição normal, já que conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos formular as hipóteses do teste:
-
Hipótese Nula (
): A média das mesas é igual a . -
Hipótese Alternativa (
): A média das mesas é menor que .
Esse é um teste unilateral à esquerda, porque estamos verificando se a média é menor que o valor especificado.
Passo 3
O próximo passo é definir o nível de significância, que é a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira. No caso, o nível de significância é de
ou
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico, que no caso é o Z-score. A fórmula para o Z-score quando conhecemos o desvio padrão da população é:
Onde:
-
(média amostral) -
(média hipotética) -
(desvio padrão da população) -
(tamanho da amostra)
Vamos substituir os valores:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar o valor crítico do Z para o nível de significância de
. Como é um teste unilateral à esquerda, procuramos o valor de Z que deixa
na cauda esquerda da distribuição normal.
Consultando uma tabela de valores de Z ou usando uma calculadora, temos:
Passo 6
Agora, comparamos o Z calculado com o valor crítico:
- Z calculado:
- Z crítico:
Como
, não caímos na região de rejeição. Isso significa que não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.
Resposta
Com um nível de significância de
, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que a média das mesas produzidas é menor que
.