As estaturas de 20 recém nascidos foram tomadas no Departamento de Pediatria da FMRP, cujos resultados são em cm:
l 41-50-52-49-49-54-50-47-52-49 50-52-50-47-49-51-46-50-49-50
a) suponha inicialmente que a população das estaturas é normalmente distribuída com variância 2 cm^2; Teste a hipótese de que a média seja diferente de 50 cm(mu=0,05)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as estaturas de 20 recém-nascidos em centímetros e pede para testarmos uma hipótese sobre a média dessas estaturas. O conteúdo que vamos usar aqui é Teste de Hipótese para a Média de uma População Normal com Variância Conhecida. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, usar a fórmula do teste Z e comparar com os valores críticos para decidir se a média da população é realmente diferente de 50 cm ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das estaturas dos 20 recém-nascidos. Os valores fornecidos são:
41, 50, 52, 49, 49, 54, 50, 47, 52, 49, 50, 52, 50, 47, 49, 51, 46, 50, 49, 50
Vamos somar todos esses valores e dividir pelo número total de observações (20):
barX = 41 + 50 + 52 + 49 + 49 + 54 + 50 + 47 + 52 + 49 + 50 + 52 + 50 + 47 + 49 + 51 + 46 + 50 + 49 + 5020
Calculando isso:
barX = 100320 = 50,15 , cm

Passo 3

Agora, vamos formular as nossas hipóteses:
  • Hipótese nula ( ): A média da população é igual a 50 cm ( ).
  • Hipótese alternativa ( ): A média da população é diferente de 50 cm ( ).
Esse é um teste bilateral porque estamos verificando se a média é diferente, podendo ser maior ou menor que 50 cm.

Passo 4

Vamos calcular o estatístico de teste Z usando a fórmula:
Z = barX - mu0sigma / raizn
Onde:
  • Z = 50,15 - 50raiz2 / raiz20 = 0,15raiz2/20 = 0,15raiz0,1 = 0,150,3162 approx 0,474 (média amostral)
  • (média hipotética)
  • (desvio padrão, já que a variância )
  • (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos determinar os valores críticos para um teste bilateral com nível de significância . Para esse nível de confiança, os valores críticos para Z são aproximadamente .

Passo 6

Vamos comparar o estatístico de teste calculado ( -1,96 < 0,474 < 1,96 ) com os valores críticos ( ):
  • Se estiver entre e , não rejeitamos a hipótese nula.
  • Se estiver fora desse intervalo, rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
Isso significa que o valor de Z está dentro do intervalo crítico.

Resposta

Como o valor calculado de está entre e , não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que a média das estaturas dos recém-nascidos seja diferente de 50 cm ao nível de significância de 5%.

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