As estaturas de 20 recém nascidos foram tomadas no Departamento de Pediatria da FMRP, cujos resultados são em cm:
l 41-50-52-49-49-54-50-47-52-49 50-52-50-47-49-51-46-50-49-50
a) suponha inicialmente que a população das estaturas é normalmente distribuída com variância 2 cm^2; Teste a hipótese de que a média seja diferente de 50 cm(mu=0,05)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as estaturas de 20 recém-nascidos em centímetros e pede para testarmos uma hipótese sobre a média dessas estaturas. O conteúdo que vamos usar aqui é Teste de Hipótese para a Média de uma População Normal com Variância Conhecida. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, usar a fórmula do teste Z e comparar com os valores críticos para decidir se a média da população é realmente diferente de 50 cm ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das estaturas dos 20 recém-nascidos. Os valores fornecidos são:
41, 50, 52, 49, 49, 54, 50, 47, 52, 49, 50, 52, 50, 47, 49, 51, 46, 50, 49, 50
Vamos somar todos esses valores e dividir pelo número total de observações (20):
barX = 41 + 50 + 52 + 49 + 49 + 54 + 50 + 47 + 52 + 49 + 50 + 52 + 50 + 47 + 49 + 51 + 46 + 50 + 49 + 5020
Calculando isso:
barX = 100320 = 50,15 , cm

Passo 3

Agora, vamos formular as nossas hipóteses:
  • Hipótese nula ( ): A média da população é igual a 50 cm ( ).
  • Hipótese alternativa ( ): A média da população é diferente de 50 cm ( ).
Esse é um teste bilateral porque estamos verificando se a média é diferente, podendo ser maior ou menor que 50 cm.

Passo 4

Vamos calcular o estatístico de teste Z usando a fórmula:
Z = barX - mu0sigma / raizn
Onde:
  • Z = 50,15 - 50raiz2 / raiz20 = 0,15raiz2/20 = 0,15raiz0,1 = 0,150,3162 approx 0,474 (média amostral)
  • (média hipotética)
  • (desvio padrão, já que a variância )
  • (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos determinar os valores críticos para um teste bilateral com nível de significância . Para esse nível de confiança, os valores críticos para Z são aproximadamente .

Passo 6

Vamos comparar o estatístico de teste calculado ( -1,96 < 0,474 < 1,96 ) com os valores críticos ( ):
  • Se estiver entre e , não rejeitamos a hipótese nula.
  • Se estiver fora desse intervalo, rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
Isso significa que o valor de Z está dentro do intervalo crítico.

Resposta

Como o valor calculado de está entre e , não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que a média das estaturas dos recém-nascidos seja diferente de 50 cm ao nível de significância de 5%.

Exercícios relacionados

Uma amostra de 25 elementos resultou média 13,5 com desvio padrão de 4,4. Efetuar o teste ao nível de 1 % para a hipótese que a média seja inferior a 16.
Em uma determinada região existem 3 pluviômetros instalados que coletaram durante um mês as seguintes precipitações: P1 =30 mm, P 2=25 mm e P3 =15 mm. Aplicando-se o método do Polígono de Thiessem, obteve-se a seguinte área de influência ao redor de cada aparelho respectivamente: Área 1=1 ha, Área 2=2 ha e Área 3=3 ha. Responda:
a) Qual a precipitação média na área total, calculada conforme o método de Thiessem? ponto)
Em uma linha de montagem, 3 máquinas - M1, M2 e M3 - produzem 20 %, 50 % e 30 % dos produtos, respectivamente. Sabe-se que, dos produtos produzidos por M1, 1, 2 % são defeituosos; já as frações de itens defeituosos produzidos por M2 e M3 são, respectivamente, 1, 8 % e 2, 1 %.
a) Qual a probabilidade de um produto selecionado aleatoriamente ter sido produzido pela máquina M1 ou pela máquina M2?
Em uma linha de montagem, 3 máquinas - M1, M2 e M3 - produzem 20 %, 50 % e 30 % dos produtos, respectivamente. Sabe-se que, dos produtos produzidos por M1, 1, 2 % são defeituosos; já as frações de itens defeituosos produzidos por M2 e M3 são, respectivamente, 1, 8 % e 2, 1 %.
b) Sabendo-se que um produto defeituoso foi selecionado, qual a probabilidade de ter sido produzido pela máquina M3?