As estaturas de 20 recém nascidos foram tomadas no Departamento de Pediatria da FMRP, cujos resultados são em cm:
a) suponha inicialmente que a população das estaturas é normalmente distribuída com variância
; Teste a hipótese de que a média seja diferente de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as estaturas de 20 recém-nascidos em centímetros e pede para testarmos uma hipótese sobre a média dessas estaturas. O conteúdo que vamos usar aqui é Teste de Hipótese para a Média de uma População Normal com Variância Conhecida. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, usar a fórmula do teste Z e comparar com os valores críticos para decidir se a média da população é realmente diferente de 50 cm ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média das estaturas dos 20 recém-nascidos. Os valores fornecidos são:
Vamos somar todos esses valores e dividir pelo número total de observações (20):
Calculando isso:
Passo 3
Agora, vamos formular as nossas hipóteses:
- Hipótese nula (
): A média da população é igual a 50 cm ( ). - Hipótese alternativa (
): A média da população é diferente de 50 cm ( ).
Esse é um teste bilateral porque estamos verificando se a média é diferente, podendo ser maior ou menor que 50 cm.
Passo 4
Vamos calcular o estatístico de teste Z usando a fórmula:
Onde:
-
(média amostral) -
(média hipotética) -
(desvio padrão, já que a variância ) -
(tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos determinar os valores críticos para um teste bilateral com nível de significância
. Para esse nível de confiança, os valores críticos para Z são aproximadamente
.
Passo 6
Vamos comparar o estatístico de teste calculado (
) com os valores críticos (
):
- Se
estiver entre e , não rejeitamos a hipótese nula. - Se
estiver fora desse intervalo, rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
Isso significa que o valor de Z está dentro do intervalo crítico.
Resposta
Como o valor calculado de
está entre
e
, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que a média das estaturas dos recém-nascidos seja diferente de 50 cm ao nível de significância de 5%.