Em uma linha de montagem, 3 máquinas - M1, M2 e M3 - produzem 20 %, 50 % e 30 % dos produtos, respectivamente. Sabe-se que, dos produtos produzidos por M1, 1, 2 % são defeituosos; já as frações de itens defeituosos produzidos por M2 e M3 são, respectivamente, 1, 8 % e 2, 1 %.
b) Sabendo-se que um produto defeituoso foi selecionado, qual a probabilidade de ter sido produzido pela máquina M3?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três máquinas na linha de montagem: M1, M2 e M3, que produzem 20%, 50% e 30% dos produtos, respectivamente. Sabemos também as taxas de defeito de cada máquina: M1 produz 1,2% de produtos defeituosos, M2 produz 1,8% e M3 produz 2,1%. A pergunta é: se um produto defeituoso foi selecionado, qual a probabilidade de ele ter sido produzido pela máquina M3?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade condicional e a Teoria de Bayes. Precisaremos calcular a probabilidade de um produto ter vindo da M3 dado que ele é defeituoso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades conhecidas:
  • Probabilidade de um produto ser produzido por M1, M2 e M3:
    P(M1) = 20% = 0,20
    P(M2) = 50% = 0,50
    P(M3) = 30% = 0,30
  • Probabilidade de um produto ser defeituoso dado que foi produzido por cada máquina:
    P(D|M1) = 1,2% = 0,012
    P(D|M2) = 1,8% = 0,018
    P(D|M3) = 2,1% = 0,021

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de um produto ter sido produzido pela M3 dado que ele é defeituoso, ou seja, P(M3|D) = P(D|M3) cdot P(M3)P(D) .
Usaremos a fórmula de Bayes:
P(D) = P(D|M1) cdot P(M1) + P(D|M2) cdot P(M2) + P(D|M3) cdot P(M3)
Primeiro, precisamos calcular P(D) = (0,012 times 0,20) + (0,018 times 0,50) + (0,021 times 0,30) , a probabilidade total de um produto ser defeituoso:
P(D) = 0,0024 + 0,009 + 0,0063 = 0,0177

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula de Bayes:
P(M3|D) = 0,021 times 0,300,0177
P(M3|D) = 0,00630,0177 approx 0,3561

Resposta

A probabilidade de que um produto defeituoso tenha sido produzido pela máquina M3 é de aproximadamente 35,61%.

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