Em uma linha de montagem, 3 máquinas - M1, M2 e M3 - produzem
e
dos produtos, respectivamente. Sabe-se que, dos produtos produzidos por M1, 1,
são defeituosos; já as frações de itens defeituosos produzidos por M2 e M3 são, respectivamente, 1,
e 2,
.
b) Sabendo-se que um produto defeituoso foi selecionado, qual a probabilidade de ter sido produzido pela máquina M3?
b) Sabendo-se que um produto defeituoso foi selecionado, qual a probabilidade de ter sido produzido pela máquina M3?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três máquinas na linha de montagem: M1, M2 e M3, que produzem 20%, 50% e 30% dos produtos, respectivamente. Sabemos também as taxas de defeito de cada máquina: M1 produz 1,2% de produtos defeituosos, M2 produz 1,8% e M3 produz 2,1%. A pergunta é: se um produto defeituoso foi selecionado, qual a probabilidade de ele ter sido produzido pela máquina M3?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade condicional e a Teoria de Bayes. Precisaremos calcular a probabilidade de um produto ter vindo da M3 dado que ele é defeituoso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as probabilidades conhecidas:
-
Probabilidade de um produto ser produzido por M1, M2 e M3:
-
Probabilidade de um produto ser defeituoso dado que foi produzido por cada máquina:
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de um produto ter sido produzido pela M3 dado que ele é defeituoso, ou seja,
.
Usaremos a fórmula de Bayes:
Primeiro, precisamos calcular
, a probabilidade total de um produto ser defeituoso:
Passo 4
Agora, substituímos os valores na fórmula de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que um produto defeituoso tenha sido produzido pela máquina M3 é de aproximadamente 35,61%.