Estenda
a uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
e precisa estender esse conjunto para formar uma base de
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e garantir que os polinômios que adicionarmos sejam linearmente independentes e que componham todo o espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de
, uma base típica é
, porque qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como combinação linear desses três polinômios.
Passo 3
Temos nosso conjunto inicial
. Para estender
a uma base, precisamos encontrar mais um polinômio que não possa ser escrito como combinação linear dos polinômios já em
. Vamos tentar adicionar
ao nosso conjunto.
Passo 4
Agora, vamos verificar se os três polinômios
são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para
é
.
Passo 5
Vamos montar a equação:
Distribuindo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Para que a igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Passo 7
Das equações acima, temos:
Da primeira equação,
. Da segunda,
. Se
, então
e
. Portanto, a única solução é
, o que mostra que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 8
Como temos três polinômios linearmente independentes em
, que é um espaço vetorial de dimensão 3, isso significa que nosso conjunto
é de fato uma base para
.
Resposta
A base estendida de
é
.
Exercícios relacionados
Sejam
, subespaços vetoriais de
. Determine uma base
a dimensão dos seguintes subespaços:
a)
b)
c)
d) .
a)
b)
c)
d)
Seja
. Encontre todas as matrizes
tais que
. Resp.:
Dadas as matrizes
e
, verifique se existem
tais que
. Resp.:
ou
e
ou
Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
definida por