Estenda beta=1+t, 1+t+t^2 a uma base de P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto beta = 1 + t, 1 + t + t^2 e precisa estender esse conjunto para formar uma base de P2(R), que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e garantir que os polinômios que adicionarmos sejam linearmente independentes e que componham todo o espaço P2(R).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de P2(R), uma base típica é 1, t, t^2, porque qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como combinação linear desses três polinômios.

Passo 3

Temos nosso conjunto inicial beta = 1 + t, 1 + t + t^2. Para estender beta a uma base, precisamos encontrar mais um polinômio que não possa ser escrito como combinação linear dos polinômios já em beta. Vamos tentar adicionar t^2 ao nosso conjunto.

Passo 4

Agora, vamos verificar se os três polinômios 1 + t, 1 + t + t^2, t^2 são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a(1 + t) + b(1 + t + t^2) + c(t^2) = 0 é a = b = c = 0.

Passo 5

Vamos montar a equação:
a(1 + t) + b(1 + t + t^2) + c(t^2) = 0
Distribuindo:
a + at + b + bt + bt^2 + ct^2 = 0
Agrupando termos semelhantes:
(a + b) + (a + b)t + (b + c)t^2 = 0

Passo 6

Para que a igualdade seja verdadeira para todo t, os coeficientes de cada potência de t devem ser iguais a zero:
  1. a + b = 0
  2. a + b = 0
  3. b + c = 0

Passo 7

Das equações acima, temos:
  1. a + b = 0
  2. b + c = 0
Da primeira equação, a = -b. Da segunda, c = -b. Se b = 0, então a = 0 e c = 0. Portanto, a única solução é a = b = c = 0, o que mostra que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 8

Como temos três polinômios linearmente independentes em P2(R), que é um espaço vetorial de dimensão 3, isso significa que nosso conjunto 1 + t, 1 + t + t^2, t^2 é de fato uma base para P2(R).

Resposta

A base estendida de P2(R) é 1 + t, 1 + t + t^2, t^2.

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