Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
T: R^3 R definida por T(x, y, z)=x-2 y+z

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se uma função específica é uma transformação linear. A função dada é:
T: R^3 R
definida por
T(x, y, z) = x - 2y + z
Vamos usar os conceitos de transformações lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma função entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.

Passo 3

Verificando a Aditividade
Sejam dois vetores quaisquer em u = (x1, y1, z1) :
v = (x2, y2, z2)
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Vamos calcular T(u + v) = (x1 + x2) - 2(y1 + y2) + (z1 + z2) :
= x1 + x2 - 2y1 - 2y2 + z1 + z2
= (x1 - 2y1 + z1) + (x2 - 2y2 + z2)
= T(u) + T(v)
Então, a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade
Seja um escalar cu = (cx, cy, cz) e um vetor T(cu) = cx - 2(cy) + cz .
Vamos calcular = c(x - 2y + z) :
= cT(u)
Então, a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Dadas as matrizes A=(ccx^2-40 & y^2+4 6 & 3) e B=(cc41 & 13 6 & 3), verifique se existem x, y in R tais que A=B. Resp.: (x=-9 ou x=9) e (y=-3 ou y=3)
Estenda beta=1+t, 1+t+t^2 a uma base de P2(R).
Obter as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de reta de extremidades A(x1, y1) e B(x2, y2).
Mostre que a matriz A=(ccc2 & -2 & -4 -1 & 3 & 4 1 & -2 & -3) é idempotente.