Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
definida por
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se uma função específica é uma transformação linear. A função dada é:
definida por
Vamos usar os conceitos de transformações lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma função
entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
dada.
Passo 3
Verificando a Aditividade
Sejam dois vetores quaisquer em
:
Vamos calcular
:
Então, a propriedade de aditividade está satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade
Seja um escalar
e um vetor
.
Vamos calcular
:
Então, a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Dadas as matrizes
e
, verifique se existem
tais que
. Resp.:
ou
e
ou
Estenda
a uma base de
.
Obter as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de reta de extremidades
e
.
Mostre que a matriz
é idempotente.