Sejam
, subespaços vetoriais de
. Determine uma base
a dimensão dos seguintes subespaços:
a)
b)
c)
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta dois subespaços vetoriais,
e
, em
. Nosso objetivo é determinar uma base e a dimensão de cada um desses subespaços, além de encontrar a base e a dimensão da interseção
e da soma
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, bases, dimensões e operações com subespaços como interseção e soma.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar
. Ele é definido por todas as triplas
que satisfazem as equações
e
. Para encontrar uma base de
, precisamos expressar as variáveis de forma que possamos identificar vetores que geram esse subespaço.
Passo 3
Vamos resolver as equações de
:
- Da equação
, temos que . - Substituindo
na primeira equação: , então .
Então, podemos expressar qualquer vetor em
como
. Fatorando o
, temos:
.
Passo 4
Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
. Portanto, esses dois vetores formam uma base para
.
Passo 5
Agora, a dimensão de um subespaço é o número de vetores em sua base. Como encontramos dois vetores na base de
, a dimensão de
é 2.
Passo 6
Vamos passar para
, que é definido por todos os vetores
que satisfazem a equação
. Para encontrar uma base, precisamos expressar duas das variáveis em função da terceira.
Passo 7
Podemos isolar
na equação de
:
.
Então, podemos escolher
e
como variáveis livres. Assim, qualquer vetor em
pode ser escrito como
. Podemos separar isso em:
.
Passo 8
Os vetores
e
são linearmente independentes e geram
, formando assim uma base para
.
Passo 9
A dimensão de
também é 2, já que sua base possui dois vetores.
Passo 10
Agora, vamos determinar
, que é o conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços. Para isso, precisamos encontrar soluções que satisfaçam as condiç��es de
e
simultaneamente.
Passo 11
Sabemos que em
,
e
. Em
,
. Substituindo
na equação de
:
.
Mas de
,
. Então:
.
Então,
e
.
Passo 12
Portanto, o único vetor na interseção
é
. Como há apenas um vetor não nulo, a dimensão dessa interseção é 1, e a base é esse vetor.
Passo 13
Por fim, vamos encontrar
, que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Para encontrar a base e a dimensão dessa soma, podemos usar a fórmula da dimensão:
.
Passo 14
Substituindo os valores que já encontramos:
.
Isso significa que
é igual a todo o espaço
, já que sua dimensão é 3.
Resposta
a) Base de
:
e dimensão 2.
b) Base de
:
e dimensão 2.
c) Base de
:
e dimensão 1.
d)
e sua dimensão é 3.
Exercícios relacionados
Seja
. Encontre todas as matrizes
tais que
. Resp.:
Suponha que
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem. Resolva cada equação a seguir, na variável
, simplificando o máximo possível:
(a) ; Resp.:
(a)
Estenda
a uma base de
.
Dadas as matrizes
e
, verifique se existem
tais que
. Resp.:
ou
e
ou