Sejam W1=(x, y, z) in R^3 ; x+y=4 x-z e W2=(x, y, z) in R^3 ; 3 x-y-z=0, subespaços vetoriais de R^3. Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços:
a) W1
b) W2
c) W1 cap W2
d) W1+W2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta dois subespaços vetoriais, W1 e W2, em R^3. Nosso objetivo é determinar uma base e a dimensão de cada um desses subespaços, além de encontrar a base e a dimensão da interseção W1 cap W2 e da soma W1 + W2. Para isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, bases, dimensões e operações com subespaços como interseção e soma.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar W1. Ele é definido por todas as triplas (x, y, z) que satisfazem as equações x + y = 4 e x - z = 0. Para encontrar uma base de W1, precisamos expressar as variáveis de forma que possamos identificar vetores que geram esse subespaço.

Passo 3

Vamos resolver as equações de W1:
  1. Da equação x - z = 0, temos que z = x.
  2. Substituindo z = x na primeira equação: x + y = 4, então y = 4 - x.
Então, podemos expressar qualquer vetor em W1 como (x, 4 - x, x). Fatorando o x, temos:
(x, 4 - x, x) = x(1, -1, 1) + (0, 4, 0).

Passo 4

Isso significa que qualquer vetor em W1 pode ser escrito como uma combinação linear de (1, -1, 1) e (0, 4, 0). Portanto, esses dois vetores formam uma base para W1.

Passo 5

Agora, a dimensão de um subespaço é o número de vetores em sua base. Como encontramos dois vetores na base de W1, a dimensão de W1 é 2.

Passo 6

Vamos passar para W2, que é definido por todos os vetores (x, y, z) que satisfazem a equação 3x - y - z = 0. Para encontrar uma base, precisamos expressar duas das variáveis em função da terceira.

Passo 7

Podemos isolar y na equação de W2:
3x - y - z = 0 Rightarrow y = 3x - z.
Então, podemos escolher x e z como variáveis livres. Assim, qualquer vetor em W2 pode ser escrito como (x, 3x - z, z). Podemos separar isso em:
x(1, 3, 0) + z(0, -1, 1).

Passo 8

Os vetores (1, 3, 0) e (0, -1, 1) são linearmente independentes e geram W2, formando assim uma base para W2.

Passo 9

A dimensão de W2 também é 2, já que sua base possui dois vetores.

Passo 10

Agora, vamos determinar W1 cap W2, que é o conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços. Para isso, precisamos encontrar soluções que satisfaçam as condiç��es de W1 e W2 simultaneamente.

Passo 11

Sabemos que em W1, z = x e y = 4 - x. Em W2, y = 3x - z. Substituindo z = x na equação de W2:
y = 3x - x = 2x.
Mas de W1, y = 4 - x. Então:
2x = 4 - x Rightarrow 3x = 4 Rightarrow x = 43.
Então, z = 43 e y = 2 times 43 = 83.

Passo 12

Portanto, o único vetor na interseção W1 cap W2 é (43, 83, 43). Como há apenas um vetor não nulo, a dimensão dessa interseção é 1, e a base é esse vetor.

Passo 13

Por fim, vamos encontrar W1 + W2, que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de W1 e um vetor de W2. Para encontrar a base e a dimensão dessa soma, podemos usar a fórmula da dimensão:
dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1 cap W2).

Passo 14

Substituindo os valores que já encontramos:
dim(W1 + W2) = 2 + 2 - 1 = 3.
Isso significa que W1 + W2 é igual a todo o espaço R^3, já que sua dimensão é 3.

Resposta

a) Base de W1: , (1, -1, 1),, (0, 4, 0) , e dimensão 2.
b) Base de W2: , (1, 3, 0),, (0, -1, 1) , e dimensão 2.
c) Base de W1 cap W2: , (43,, 83,, 43) , e dimensão 1.
d) W1 + W2 = R^3 e sua dimensão é 3.

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