Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, a gente vai usar conceitos de derivação de funções compostas e a regra da cadeia. Vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e funções com raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função é uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Nesse caso, a função externa é , onde . Para derivar , usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de é vezes a derivada de , ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos calcular , que é a derivada de . Podemos reescrever como:
Para derivar isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia novamente.

Passo 4

Aplicando a regra do produto, onde e , temos:
Sabemos que . Agora, vamos derivar .

Passo 5

Para derivar , usamos a regra da potência e a regra da cadeia:

Passo 6

Substituindo e na expressão de :
Podemos fatorar :

Passo 7

Voltando à expressão da derivada de :
Simplificando, podemos escrever:

Resposta

A derivada da função é:

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milhares de habitantes. Um estudo ambiental revela que a concentração média de monóxido de carbono no ar é dada por partes por milhão, onde é a população em milhares de habitantes.
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