Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Aqui, a gente vai usar conceitos de derivação de funções compostas e a regra da cadeia. Vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e funções com raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que nossa função é uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Nesse caso, a função externa é
, onde
. Para derivar
, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de
é
vezes a derivada de
, ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
, que é a derivada de
. Podemos reescrever
como:
Para derivar isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia novamente.
Passo 4
Aplicando a regra do produto, onde
e
, temos:
Sabemos que
. Agora, vamos derivar
.
Passo 5
Para derivar
, usamos a regra da potência e a regra da cadeia:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão de
:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Voltando à expressão da derivada de
:
Simplificando, podemos escrever:
Resposta
A derivada da função é:
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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
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Estima-se que, daqui a
anos, a população em um certo município será de
milhares de habitantes. Um estudo ambiental revela que a concentração média de monóxido de carbono no ar é dada por
partes por milhão, onde
é a população em milhares de habitantes.
Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono com relação ao tamanho da população quando o munícipio tiver 18 mil habitantes?
Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono com relação ao tamanho da população quando o munícipio tiver 18 mil habitantes?