Para estimar a fração defeituosa entre componentes elétricos, como eles são produzidos sob condições normais, uma amostra contendo 1000 componentes é retirada e cada componente é classificado como defeituoso ou não defeituoso. Nove componentes são considerados defeituosos nesta amostra.
B. Supondo que essa estimativa esteja exatamente correta, qual é o desvio padrão da proporção defeituosa? Então, quais são os limites do intervalo da melhor estimativa menos dois desvios padrão para a melhor estimativa mais dois desvios padrão? Qual é a probabilidade de um resultado fora desse intervalo?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema tá pedindo. A gente tem uma amostra de 1000 componentes elétricos, e descobriu que 9 deles são defeituosos. Isso tá relacionado com probabilidade e estatística, mais especificamente com proporções e desvio padrão. Pra resolver isso, vamos precisar calcular a proporção defeituosa, achar o desvio padrão dessa proporção e depois usar esse desvio padrão pra determinar os limites de um intervalo e a probabilidade associada a esse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção defeituosa na amostra. Isso é simplesmente o número de defeituosos dividido pelo total de componentes na amostra.
p = número de defeituosostamanho da amostra = 91000 = 0,009 ú
Então, a proporção defeituosa é 0,009 ou 0,9%.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da proporção defeituosa. A fórmula do desvio padrão para uma proporção é:
sigmap = raizp(1 - p)n
Onde:
  • sigmap = raiz0,009 times (1 - 0,009)1000 = raiz0,009 times 0,9911000 = raiz0,0089191000 approx raiz0,000008919 approx 0,002985 é a proporção defeituosa (0,009)
  • é o tamanho da amostra (1000)
Vamos substituir os valores:
Então, o desvio padrão da proporção defeituosa é aproximadamente 0,002985.

Passo 4

Com o desvio padrão calculado, vamos agora determinar os limites do intervalo da melhor estimativa menos dois desvios padrão até a melhor estimativa mais dois desvios padrão. Isso dá uma noção do quanto a proporção pode variar.
Limite Inferior = p - 2sigmap = 0,009 - 2 times 0,002985 = 0,009 - 0,00597 = 0,00303
Limite Superior = p + 2sigmap = 0,009 + 2 times 0,002985 = 0,009 + 0,00597 = 0,01497
Então, os limites do intervalo são aproximadamente 0,00303 e 0,01497.

Passo 5

Por último, vamos determinar a probabilidade de um resultado estar fora desse intervalo. Assumindo que a distribuição da proporção é aproximadamente normal (o que é válido aqui devido ao tamanho da amostra), sabemos que cerca de 95% dos valores estão dentro de dois desvios padrão da média. Portanto, a probabilidade de estar fora desse intervalo é de aproximadamente 5%.

Resposta

O desvio padrão da proporção defeituosa é aproximadamente 0,002985. Os limites do intervalo são 0,00303 e 0,01497. A probabilidade de um resultado estar fora desse intervalo é de cerca de 5 %.

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