An estimate is needed of the lift provided by a hydrofoil wing section when it moves through water at 60 mph . Test data are available for this purpose from experiments in a pressurized wind tunnel with an airfoil section model geometrically similar to but twice the size of the hydrofoil. If the lift F1 is a function of the density rho of the fluid, the velocity v of the flow, the angle of attack theta, the chord length D, and the viscosity mu, what velocity of flow in the wind tunnel would correspond to the hydrofoil velocity for which the estimate is desired? Assume the same angle of attack in both cases, that the density of the air in the pressurized tunnel was 5.0 times 10^-3 slugs / ft^3, that its kinematic viscosity was 8.0 times 10^-5 ft^2 / s, and that the kinematic viscosity of the water is approximately 1.0 times 10^-5 ft^2 / s. Take the density of the water to be 1.94 slugs/ft ^3.

Passo 1

Vamos resolver um problema de mecânica dos fluidos, especificamente relacionado à geração de sustentação (lift) por uma seção de hidroavião (hydrofoil) quando se move na água. Precisamos descobrir qual a velocidade na esteira de vento (wind tunnel) que corresponde à velocidade desejada do hidroavião na água. Para isso, vamos utilizar conceitos de similaridade e números adimensionais, como o número de Reynolds. Precisaremos das informações sobre densidade, viscosidade cinemática dos fluidos, e as dimensões das seções do hidroavião e do modelo na esteira de vento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos que o levantamento (lift) produzido pelo modelo na esteira de vento seja equivalente ao levantado pelo hidroavião na água. Para garantir isso, precisamos que os números de Reynolds sejam iguais nos dois casos, pois isso assegura que os efeitos da viscosidade sejam proporcionalmente semelhantes.
O número de Reynolds (Re) é dado por:
Re = v cdot Dnu
onde:
  • é a velocidade do fluido,
  • é o comprimento da corda (chord length),
  • é a viscosidade cinemática do fluido.

Passo 3

Sabemos que as seções são geometricamente semelhantes, e o modelo na esteira de vento é duas vezes maior que o hidroavião. Portanto, se Reh = Rew é o comprimento da corda do hidroavião, o comprimento da corda do modelo na esteira de vento será vh cdot Dhnuágua = vw cdot Dwnuar .
Queremos que o número de Reynolds seja o mesmo nos dois casos:
Substituindo a fórmula do Reynolds:
á

Passo 4

Agora, vamos isolar vw = vh cdot DhDw cdot nuarnuágua , que é a velocidade na esteira de vento que queremos encontrar:
vw = vh cdot 12 cdot nuarnuágua á
Sabemos que , então . Substituindo:
á

Passo 5

Agora, substituímos os valores fornecidos:
  • vw = 88.02 cdot 12 cdot 8.0 times 10^-51.0 times 10^-5 = 88.02 cdot 0.5 cdot 8 = 88.02 cdot 4 = 352.08 ft/s mph (precisamos converter para pés por segundo, pois as viscosidades estão em pés²/s),
  • mph ≈ ft/s, então mph ≈ ft/s,
  • ft²/s,
  • á ft²/s.
Substituindo:

Resposta

A velocidade na esteira de vento que corresponde à velocidade desejada do hidroavião é aproximadamente 352 ft/s.

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