The mass, M, of drops formed by a liquid discharging by gravity from a vertical tube is a function of tube diameter, D, liquid density, surface tension, and the acceleration of gravity. Determine the independent dimensionless groups that would allow the surface-tension effect to be analyzed. Neglect any effects of viscosity.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa descobrir quais combinações de dimensões são independentes para analisar o efeito da tensão superficial na formação de gotas. Estamos lidando com a massa das gotas ( ) que depende do diâmetro do tubo ( ), densidade do líquido ( ), tensão superficial ( ) e aceleração da gravidade ( ). Aqui, vamos usar a Análise Dimensional, especificamente o Teorema de Buckingham , para encontrar grupos adimensionais que descrevem o sistema sem considerar a viscosidade.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e suas dimensões básicas:
  • Massa das gotas,
  • Diâmetro do tubo,
  • Densidade do líquido,
  • Tensão superficial,
  • Aceleração da gravidade,

Passo 3

Segundo o Teorema de Buckingham , o número de grupos adimensionais é igual ao número de variáveis menos o número de dimensões básicas. Aqui, temos 5 variáveis e 3 dimensões básicas , então grupos adimensionais.

Passo 4

Vamos escolher as variáveis repetidas que abrangem todas as dimensões básicas. Normalmente, a densidade , diâmetro e aceleração da gravidade são boas candidatas.

Passo 5

Agora, expressamos os outros parâmetros ( e ) em termos dessas variáveis repetidas. Vamos formar os grupos adimensionais ( ) combinando , , , e .

Passo 6

Calculando os grupos:
  1. Primeiro grupo ( pi1 = Mrho D^3 ):
pi2 = sigmarho g D
Este representa a relação entre a massa da gota e o volume do líquido (via diâmetro e densidade).
  1. Segundo grupo ( ):
Este grupo relaciona a tensão superficial com as forças gravitacionais e as propriedades do líquido.

Passo 7

Portanto, os grupos adimensionais que permitem analisar o efeito da tensão superficial são e .

Resposta

Os grupos adimensionais independentes são:
pi1 = Mrho D^3 e pi2 = sigmarho g D

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