The mass,
, of drops formed by a liquid discharging by gravity from a vertical tube is a function of tube diameter,
, liquid density, surface tension, and the acceleration of gravity. Determine the independent dimensionless groups that would allow the surface-tension effect to be analyzed. Neglect any effects of viscosity.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa descobrir quais combinações de dimensões são independentes para analisar o efeito da tensão superficial na formação de gotas. Estamos lidando com a massa das gotas (
) que depende do diâmetro do tubo (
), densidade do líquido (
), tensão superficial (
) e aceleração da gravidade (
). Aqui, vamos usar a Análise Dimensional, especificamente o Teorema de Buckingham
, para encontrar grupos adimensionais que descrevem o sistema sem considerar a viscosidade.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e suas dimensões básicas:
- Massa das gotas,
- Diâmetro do tubo,
- Densidade do líquido,
- Tensão superficial,
- Aceleração da gravidade,
Passo 3
Segundo o Teorema de Buckingham
, o número de grupos adimensionais é igual ao número de variáveis menos o número de dimensões básicas. Aqui, temos 5 variáveis e 3 dimensões básicas
, então
grupos adimensionais.
Passo 4
Vamos escolher as variáveis repetidas que abrangem todas as dimensões básicas. Normalmente, a densidade
, diâmetro
e aceleração da gravidade
são boas candidatas.
Passo 5
Agora, expressamos os outros parâmetros (
e
) em termos dessas variáveis repetidas. Vamos formar os grupos adimensionais (
) combinando
,
,
,
e
.
Passo 6
Calculando os grupos:
- Primeiro grupo (
):
Este representa a relação entre a massa da gota e o volume do líquido (via diâmetro e densidade).
- Segundo grupo (
):
Este grupo relaciona a tensão superficial com as forças gravitacionais e as propriedades do líquido.
Passo 7
Portanto, os grupos adimensionais que permitem analisar o efeito da tensão superficial são
e
.
Resposta
Os grupos adimensionais independentes são: