The mass,
, of drops formed by a liquid discharging by gravity from a vertical tube is a function of tube diameter,
, liquid density, surface tension, and the acceleration of gravity. Determine the independent dimensionless groups that would allow the surface-tension effect to be analyzed. Neglect any effects of viscosity.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa descobrir quais combinações de dimensões são independentes para analisar o efeito da tensão superficial na formação de gotas. Estamos lidando com a massa das gotas (
) que depende do diâmetro do tubo (
), densidade do líquido (
), tensão superficial (
) e aceleração da gravidade (
). Aqui, vamos usar a Análise Dimensional, especificamente o Teorema de Buckingham
, para encontrar grupos adimensionais que descrevem o sistema sem considerar a viscosidade.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e suas dimensões básicas:
- Massa das gotas,
- Diâmetro do tubo,
- Densidade do líquido,
- Tensão superficial,
- Aceleração da gravidade,
Passo 3
Segundo o Teorema de Buckingham
, o número de grupos adimensionais é igual ao número de variáveis menos o número de dimensões básicas. Aqui, temos 5 variáveis e 3 dimensões básicas
, então
grupos adimensionais.
Passo 4
Vamos escolher as variáveis repetidas que abrangem todas as dimensões básicas. Normalmente, a densidade
, diâmetro
e aceleração da gravidade
são boas candidatas.
Passo 5
Agora, expressamos os outros parâmetros (
e
) em termos dessas variáveis repetidas. Vamos formar os grupos adimensionais (
) combinando
,
,
,
e
.
Passo 6
Calculando os grupos:
- Primeiro grupo (
):
Este representa a relação entre a massa da gota e o volume do líquido (via diâmetro e densidade).
- Segundo grupo (
):
Este grupo relaciona a tensão superficial com as forças gravitacionais e as propriedades do líquido.
Passo 7
Portanto, os grupos adimensionais que permitem analisar o efeito da tensão superficial são
e
.
Resposta
Os grupos adimensionais independentes são:
Exercícios relacionados
Introduce the following dimensionless terms into the Navier-Stokes equation:
The operator
may then be written
. Show that the Navier-Stokes equation becomes
An estimate is needed of the lift provided by a hydrofoil wing section when it moves through water at 60 mph . Test data are available for this purpose from experiments in a pressurized wind tunnel with an airfoil section model geometrically similar to but twice the size of the hydrofoil. If the lift
is a function of the density
of the fluid, the velocity
of the flow, the angle of attack
, the chord length
, and the viscosity
, what velocity of flow in the wind tunnel would correspond to the hydrofoil velocity for which the estimate is desired? Assume the same angle of attack in both cases, that the density of the air in the pressurized tunnel was
slugs
, that its kinematic viscosity was
, and that the kinematic viscosity of the water is approximately
. Take the density of the water to be 1.94 slugs/ft
.
The maximum pitching moment that is developed by the water on a flying boat as it lands is noted as
. The following are the variables involved in this action:
angle made by flight path of plane with horizontal
angle defining attitude of plane
mass of plane
length of hull
density of water
acceleration of gravity
radius of gyration of plane about axis of pitching
(a) According to the Buckingham pi theorem, how many independent dimensionless groups should there be which characterize this problem?
(b) What is the dimensional matrix of this problem? What is its rank?
© Evaluate the appropriate dimensionless parameters for this problem.
(a) According to the Buckingham pi theorem, how many independent dimensionless groups should there be which characterize this problem?
(b) What is the dimensional matrix of this problem? What is its rank?
© Evaluate the appropriate dimensionless parameters for this problem.