Introduce the following dimensionless terms into the Navier-Stokes equation:
The operator
may then be written
. Show that the Navier-Stokes equation becomes
Passo 1
Entendendo o problema e os conceitos envolvidos
Vamos resolver um exercício de mecânica dos fluídos onde precisamos tornar a equação de Navier-Stokes adimensional. Isso significa que vamos reescrever a equação usando termos sem unidades, o que facilita a análise de diferentes regimes de fluxo. Para isso, vamos utilizar termos adimensionais como velocidade adimensional (
), pressão adimensional (
), tempo adimensional (
) e distância adimensional (
).
Passo 2
Identificando as grandezas e suas respectivas escalações adimensionais
Primeiro, vamos identificar como cada grandeza física é transformada em uma forma adimensional:
Aqui,
é uma velocidade característica,
é a densidade do fluido,
é uma distância característica,
é a pressão,
é a velocidade, e
é o tempo.
Passo 3
Substituindo as grandezas adimensionais na equação de Navier-Stokes
A equação de Navier-Stokes na forma dimensional é:
Onde
é a viscosidade cinemática e
representa forças externas (como a gravidade).
Vamos substituir cada termo pela sua forma adimensional:
- Velocidade:
- Pressão:
- Tempo:
- Distância:
Passo 4
Calculando as derivadas adimensionais
Primeiro, calculamos a derivada material adimensional:
Agora, substituímos na equação de Navier-Stokes:
Passo 5
Isolando os termos adimensionais
Dividimos toda a equação por
para tornar os termos adimensionais:
Reconhecemos que
é o número de Reynolds inverso,
, onde:
Passo 6
Apresentando a equação final adimensionalizada
Substituindo o termo de viscosidade pelo número de Reynolds, obtemos a equação de Navier-Stokes adimensional:
Resposta
A equação de Navier-Stokes adimensionalizada fica: