Introduce the following dimensionless terms into the Navier-Stokes equation:
v^* & =v / vinfty, dimension<=ss velocity P^* & =P / rho vinfty^2, dimension<=ss pressure t^* & =t vinfty / L, dimension<=ss time x^* & =x / L, dimension<=ss distance
The operator nabla may then be written nabla=nabla^* / L. Show that the Navier-Stokes equation becomes
D v^*D t^*=g Lvinfty^2-nabla^* P^*+1Re nabla^2 v^*

Passo 1

Entendendo o problema e os conceitos envolvidos
Vamos resolver um exercício de mecânica dos fluídos onde precisamos tornar a equação de Navier-Stokes adimensional. Isso significa que vamos reescrever a equação usando termos sem unidades, o que facilita a análise de diferentes regimes de fluxo. Para isso, vamos utilizar termos adimensionais como velocidade adimensional ( v^*), pressão adimensional ( P^*), tempo adimensional ( t^*) e distância adimensional ( x^*).

Passo 2

Identificando as grandezas e suas respectivas escalações adimensionais
Primeiro, vamos identificar como cada grandeza física é transformada em uma forma adimensional:
v^* & = vvinfty & (velocidade adimensional) P^* & = Prho vinfty^2 & (pressão adimensional) t^* & = t vinftyL & (tempo adimensional) x^* & = xL & (distância adimensional) ãâ
Aqui, vinfty é uma velocidade característica, rho é a densidade do fluido, L é uma distância característica, P é a pressão, v é a velocidade, e t é o tempo.

Passo 3

Substituindo as grandezas adimensionais na equação de Navier-Stokes
A equação de Navier-Stokes na forma dimensional é:
D vD t = g - nabla P + nu nabla^2 v
Onde nu é a viscosidade cinemática e g representa forças externas (como a gravidade).
Vamos substituir cada termo pela sua forma adimensional:
  • Velocidade: v = vinfty v^*
  • Pressão: P = rho vinfty^2 P^*
  • Tempo: t = L t^*vinfty
  • Distância: nabla = nabla^*L

Passo 4

Calculando as derivadas adimensionais
Primeiro, calculamos a derivada material adimensional:
D vD t = vinftyt D v^*D t^* = vinfty^2L D v^*D t^*
Agora, substituímos na equação de Navier-Stokes:
vinfty^2L D v^*D t^* = g - rho vinfty^2 nabla^* P^* + nu vinftyL^2 nabla^*2 v^*

Passo 5

Isolando os termos adimensionais
Dividimos toda a equação por vinfty^2L para tornar os termos adimensionais:
D v^*D t^* = g Lvinfty^2 - nabla^* P^* + nuvinfty L nabla^*2 v^*
Reconhecemos que nuvinfty L é o número de Reynolds inverso, 1Re, onde:
Re = rho vinfty Lmu (com $mu = rho nu$)

Passo 6

Apresentando a equação final adimensionalizada
Substituindo o termo de viscosidade pelo número de Reynolds, obtemos a equação de Navier-Stokes adimensional:
D v^*D t^* = g Lvinfty^2 - nabla^* P^* + 1Re nabla^*2 v^*

Resposta

A equação de Navier-Stokes adimensionalizada fica:
D v^*D t^* = g Lvinfty^2 - nabla^* P^* + 1Re nabla^*2 v^*

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