Estime o tempo necessário para cozinhar uma salsicha de cachorro quente em água fervente. Considere que a salsicha esteja inicialmente a , que o coeficiente de transferência de calor por convecção seja de e que a temperatura final na sua linha de centro seja de . Trate a salsicha como se ela fosse um longo cilindro com 20 mm de diâmetro, possuindo as seguintes propriedades termofísicas: e k=0,52 W/mK.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para estimar o tempo necessário para cozinhar uma salsicha de cachorro-quente em água fervente. A salsicha começa a e precisamos que o centro dela alcance . Vamos tratar a salsicha como um cilindro longo com 20 mm de diâmetro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e condução. Precisaremos das propriedades termofísicas da salsicha, como densidade ( ), capacidade térmica ( ) e condutividade térmica ( ), além do coeficiente de transferência de calor por convecção ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos simplificar o problema usando o modelo de “sistema capacitante concentrado” (ou “lumped capacitance model”). Esse modelo é válido quando o Biot número ( ) é menor que 0,1. O Biot número é dado por:
Onde é o comprimento característico, que para um cilindro é o raio ( ).
Vamos calcular o raio da salsicha:
Agora, calculando o Biot número:
Como , o modelo de sistema capacitante concentrado não é adequado. Portanto, precisamos usar a solução para condução de calor em cilindros com condições de fronteira convectivas.

Passo 3

Vamos usar a equação para condução de calor em cilindros com fronteira convectiva. A equação geral para a temperatura no tempo é dada por uma série de funções de Bessel. No entanto, para simplificar, vamos considerar apenas o primeiro termo da série, que geralmente fornece uma boa aproximação para o tempo necessário.
A equação simplificada é:
Onde:
  • é a temperatura no centro ( ) no tempo .
  • é a temperatura da água fervente ( ).
  • é a temperatura inicial da salsicha ( ).
  • é a difusividade térmica, calculada por .
  • é o raio da salsicha.
  • é o primeiro zero da função de Bessel de primeira espécie de ordem zero, que é aproximadamente .
Queremos que , mas na verdade estamos procurando quando o centro atinge praticamente a temperatura da água, então vamos rearranjar para encontrar o tempo .

Passo 4

Vamos calcular a difusividade térmica ( ):
Agora, rearranjando a equação para resolver para :
Como queremos que , mas na prática, precisamos considerar um pequeno ajuste. Vamos assumir que no tempo , o centro atinge 99% de aproximação da temperatura final. Ou seja:
Substituindo na equação:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Primeiro, calculamos o lado esquerdo:
E o lado direito:
Simplificando:
Agora, isolamos :

Resposta

O tempo necessário para cozinhar a salsicha até que o centro atinja é aproximadamente 4,5 segundos.

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Dados:

Obs.: Resolva o problema de forma iterativa e apresente o método de solução.