Estime o tempo necessário para cozinhar uma salsicha de cachorro quente em água fervente. Considere que a salsicha esteja inicialmente a 6^circ C, que o coeficiente de transferência de calor por convecção seja de 100 W / m^2 K e que a temperatura final na sua linha de centro seja de 80^circ C. Trate a salsicha como se ela fosse um longo cilindro com 20 mm de diâmetro, possuindo as seguintes propriedades termofísicas: rho=880 kg / m^3, c=3350 J / kgK e k=0,52 W/mK.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para estimar o tempo necessário para cozinhar uma salsicha de cachorro-quente em água fervente. A salsicha começa a 6^circ C e precisamos que o centro dela alcance 80^circ C. Vamos tratar a salsicha como um cilindro longo com 20 mm de diâmetro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e condução. Precisaremos das propriedades termofísicas da salsicha, como densidade ( rho), capacidade térmica ( c) e condutividade térmica ( k), além do coeficiente de transferência de calor por convecção ( h).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos simplificar o problema usando o modelo de “sistema capacitante concentrado” (ou “lumped capacitance model”). Esse modelo é válido quando o Biot número ( Bi) é menor que 0,1. O Biot número é dado por:
Bi = hLck
Onde Lc é o comprimento característico, que para um cilindro é o raio ( r).
Vamos calcular o raio da salsicha:
r = 20 , mm2 = 10 , mm = 0,01 , m
Agora, calculando o Biot número:
Bi = 100 , W/m^2K times 0,01 , m0,52 , W/mK approx 1,92
Como Bi > 0,1, o modelo de sistema capacitante concentrado não é adequado. Portanto, precisamos usar a solução para condução de calor em cilindros com condições de fronteira convectivas.

Passo 3

Vamos usar a equação para condução de calor em cilindros com fronteira convectiva. A equação geral para a temperatura no tempo t é dada por uma série de funções de Bessel. No entanto, para simplificar, vamos considerar apenas o primeiro termo da série, que geralmente fornece uma boa aproximação para o tempo necessário.
A equação simplificada é:
T(r,t) - TinftyTi - Tinfty = exp(-lambda1^2 alpha tR^2)
Onde:
  • T(r,t) é a temperatura no centro ( r=0) no tempo t.
  • Tinfty é a temperatura da água fervente ( 80^circ C).
  • Ti é a temperatura inicial da salsicha ( 6^circ C).
  • alpha é a difusividade térmica, calculada por alpha = krho c.
  • R é o raio da salsicha.
  • lambda1 é o primeiro zero da função de Bessel de primeira espécie de ordem zero, que é aproximadamente 2,4048.
Queremos que T(0,t) = 80^circ C, mas na verdade estamos procurando quando o centro atinge praticamente a temperatura da água, então vamos rearranjar para encontrar o tempo t.

Passo 4

Vamos calcular a difusividade térmica ( alpha):
alpha = krho c = 0,52 , W/mK880 , kg/m^3 times 3350 , J/kgK approx 1,76 times 10^-5 , m^2/s
Agora, rearranjando a equação para resolver para t:
ln(T(r,t) - TinftyTi - Tinfty) = -lambda1^2 alpha tR^2
Como queremos que T(r,t) approx Tinfty, mas na prática, precisamos considerar um pequeno ajuste. Vamos assumir que no tempo t, o centro atinge 99% de aproximação da temperatura final. Ou seja:
T(r,t) - TinftyTi - Tinfty = 0,01
Substituindo na equação:
ln(0,01) = -(2,4048)^2 times 1,76 times 10^-5 , m^2/s times t(0,01 , m)^2

Passo 5

Agora, vamos resolver para t:
Primeiro, calculamos o lado esquerdo:
ln(0,01) approx -4,605
E o lado direito:
-(2,4048)^2 times 1,76 times 10^-5 times t0,0001
Simplificando:
-4,605 = -5,7835 times 1,76 times 10^-5 times t0,0001
-4,605 = -1,0183 times 10^-4 times t0,0001
-4,605 = -1,0183 times t
Agora, isolamos t:
t = 4,6051,0183 approx 4,52 , segundos

Resposta

O tempo necessário para cozinhar a salsicha até que o centro atinja 80^circ C é aproximadamente 4,5 segundos.

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