Estime o tempo para que a temperatura no centro geométrico de uma maçã de 6 cm de diâmetro, imersa em um fluxo de água a 2^circ C, alcance 3^circ C. A temperatura uniforme inicial da maçã é de 15^circ C. O coeficiente de transferência de calor por convecção da água para a superfície da maçã é de 50 W / m^2 ^circ C. As propriedades da maçã são: k=0,355 W / m^0 C; cp=3600 J / kg ^circ C ; rho=820 kg / m^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma maçã com 6 cm de diâmetro que começa com uma temperatura uniforme de 15^circ C. Ela é colocada em um fluxo de água a 2^circ C, e queremos saber quanto tempo levará para que a temperatura no centro da maçã caia para 3^circ C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e condução térmica. Precisaremos das propriedades térmicas da maçã e da fórmula do tempo de resfriamento usando o modelo de capacidade calorífica lumped.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume da maçã para encontrar sua massa. A maçã é esférica, então usamos a fórmula do volume de uma esfera:
V = 43 pi r^3
Onde r é o raio da maçã. Como o diâmetro é 6 cm, o raio é 3 cm ou 0,03 m.

Passo 3

Calculando o volume:
V = 43 pi (0,03)^3 approx 43 pi (0,000027) approx 0,000113 , m^3
Agora, usando a densidade ( rho = 820 , kg/m^3), encontramos a massa:
m = rho V = 820 times 0,000113 approx 0,093 , kg

Passo 4

Vamos verificar se podemos usar o modelo de capacidade calorífica lumped. Para isso, calculamos o número de Biot:
Bi = hLck
Onde h = 50 , W/m^2,°C, k = 0,355 , W/m,°C e Lc é o comprimento característico, que para uma esfera é o raio r = 0,03 , m. Então:
Bi = 50 times 0,030,355 approx 4,23
Como Bi > 0,1, o modelo lumped não é apropriado. Precisamos usar um método mais detalhado.

Passo 5

Vamos considerar a transferência de calor por condução no interior da maçã. A equação de condução de calor para uma esfera é:
partial Tpartial t = alpha ( 1r^2 partialpartial r( r^2 partial Tpartial r ) )
Onde alpha = krho cp é a difusividade térmica. Calculando alpha:
alpha = 0,355820 times 3600 approx 1,19 times 10^-5 , m^2/s

Passo 6

Para simplificar, podemos usar a aproximação da solução de primeira ordem para o resfriamento no centro:
T(t) - Tinfty = (T0 - Tinfty) e^- beta t
Onde beta é uma constante que depende das propriedades da maçã e das condições de contorno. Estimando beta com base em propriedades térmicas e geometria, podemos resolver para o tempo t.

Passo 7

Assumindo que a constante beta está relacionada a h e alpha, e usando uma estimativa simplificada:
beta approx hrho cp R
Onde R = 0,03 , m. Então:
beta approx 50820 times 3600 times 0,03 approx 0,0051 , s^-1

Passo 8

Agora, substituímos os valores na equação de resfriamento:
3 - 2 = (15 - 2) e^-0,0051 t
Simplificando:
1 = 13 e^-0,0051 t
e^-0,0051 t = 113
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
-0,0051 t = ln(113)
t = -ln(113)0,0051 approx 2,56490,0051 approx 503,9 , s

Resposta

O tempo estimado para que a temperatura no centro da maçã alcance 3^circ C é de aproximadamente 504 segundos.

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