Estime o tempo para que a temperatura no centro geométrico de uma maçã de 6 cm de diâmetro, imersa em um fluxo de água a
, alcance
. A temperatura uniforme inicial da maçã é de
. O coeficiente de transferência de calor por convecção da água para a superfície da maçã é de
. As propriedades da maçã são:
;
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma maçã com 6 cm de diâmetro que começa com uma temperatura uniforme de
. Ela é colocada em um fluxo de água a
, e queremos saber quanto tempo levará para que a temperatura no centro da maçã caia para
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e condução térmica. Precisaremos das propriedades térmicas da maçã e da fórmula do tempo de resfriamento usando o modelo de capacidade calorífica lumped.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume da maçã para encontrar sua massa. A maçã é esférica, então usamos a fórmula do volume de uma esfera:
Onde
é o raio da maçã. Como o diâmetro é 6 cm, o raio é 3 cm ou 0,03 m.
Passo 3
Calculando o volume:
Agora, usando a densidade (
), encontramos a massa:
Passo 4
Vamos verificar se podemos usar o modelo de capacidade calorífica lumped. Para isso, calculamos o número de Biot:
Onde
,
e
é o comprimento característico, que para uma esfera é o raio
. Então:
Como
, o modelo lumped não é apropriado. Precisamos usar um método mais detalhado.
Passo 5
Vamos considerar a transferência de calor por condução no interior da maçã. A equação de condução de calor para uma esfera é:
Onde
é a difusividade térmica. Calculando
:
Passo 6
Para simplificar, podemos usar a aproximação da solução de primeira ordem para o resfriamento no centro:
Onde
é uma constante que depende das propriedades da maçã e das condições de contorno. Estimando
com base em propriedades térmicas e geometria, podemos resolver para o tempo
.
Passo 7
Assumindo que a constante
está relacionada a
e
, e usando uma estimativa simplificada:
Onde
. Então:
Passo 8
Agora, substituímos os valores na equação de resfriamento:
Simplificando:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Resposta
O tempo estimado para que a temperatura no centro da maçã alcance
é de aproximadamente 504 segundos.
Exercícios relacionados
Para os campos de velocidade dados abaixo: O escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê? (a e b são constantes.)
Rolamentos de esferas de aço são temperados por meio do resfriamento em um banho de água a uma temperatura de
. Você recebeu uma solicitação para projetar um processo contínuo no qual as esferas poderiam rolar a partir de um forno de impregnação, a uma temperatura uniforme de
, para dentro da água, de onde seriam transportadas para fora por uma correia transportadora. A correia, entretanto, não seria satisfatória se a temperatura superficial das esferas que deixam a água for maior que
. Se o coeficiente de transferência de calor superficial entre as esferas e a água for igual a
:
a) Calcule o tempo de resfriamento, em segundos, necessário para uma esfera de 3cm de diâmetro;
b) Calcule a quantidade total de calor em watts que deveria ser removida do banho de água para manter uma temperatura uniforme, caso 100.000 esferas de 3cm sejam resfriadas por hora.
Propriedades do aço: .
a) Calcule o tempo de resfriamento, em segundos, necessário para uma esfera de 3cm de diâmetro;
b) Calcule a quantidade total de calor em watts que deveria ser removida do banho de água para manter uma temperatura uniforme, caso 100.000 esferas de 3cm sejam resfriadas por hora.
Propriedades do aço:
Para os campos de velocidade dados abaixo: O campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê?
Para os campos de velocidade dados abaixo: O escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê? (a e b são constantes.)