Estime o volume molar do CO2, a 500 K e 100 atm, admitindo que o gás se comporta como um gás de van der Waals.
a /(atm dm^6 mol^-2) b /(1 0^-2 dm^3 mol^-1)
Ar 1.337 3.20
CO2 3.610 4.29
He 0.0341 2.38
Xe 4.137 5.16
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente estimar o volume molar do CO2 a 500 K e 100 atm, considerando que o gás se comporta como um gás de van der Waals. Isso envolve conceitos de termodinâmica, especificamente da teoria dos gases reais. Para isso, vamos precisar usar a equação de van der Waals, que ajusta a equação dos gases ideais levando em conta as interações entre as moléculas e o volume ocupado por elas. Os dados que vamos usar são os valores das constantes a e b para o CO2 fornecidos na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de van der Waals:
(P + aVm^2) (Vm - b) = R T
Aqui:
  • P é a pressão do gás,
  • Vm é o volume molar,
  • T é a temperatura,
  • R é a constante dos gases (0,0821 atm·dm³/mol·K),
  • a e b são constantes específicas do gás.
Nosso objetivo é encontrar Vm.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na equação. Para o CO2:
  • a = 3.610 atm dm^6 mol^-2
  • b = 4.29 times 10^-2 dm^3 mol^-1
  • P = 100 atm
  • T = 500 K
  • R = 0,0821 atm dm^3/mol K
Substituindo na equação:
(100 + 3.610Vm^2) (Vm - 0.0429) = 0.0821 times 500

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
(100 + 3.610Vm^2) (Vm - 0.0429) = 41.05
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar Vm. Essa é uma equação cúbica e pode ser complexa para resolver analiticamente, então vamos usar uma abordagem iterativa ou aproximada.

Passo 5

Primeiro, vamos fazer uma aproximação inicial usando a equação dos gases ideais:
Vm = R TP = 0.0821 times 500100 = 0.4105 dm^3/mol
Esse será nosso ponto de partida.

Passo 6

Agora, aplicamos a correção de van der Waals. Vamos substituir Vm = 0.4105 dm^3/mol na parte que contém a:
(100 + 3.610(0.4105)^2) (0.4105 - 0.0429) = (100 + 3.6100.1685) times 0.3676
Calculando:
(100 + 21.40) times 0.3676 = 121.40 times 0.3676 approx 44.61
Nossa equação agora está:
44.61 = 41.05

Passo 7

Vemos que o lado esquerdo é maior que o direito, então precisamos ajustar nosso Vm. Vamos tentar aumentar Vm para diminuir a pressão efetiva.
Tentamos Vm = 0.420 dm^3/mol:
(100 + 3.610(0.420)^2) times (0.420 - 0.0429) = (100 + 3.6100.1764) times 0.3771
Calculando:
(100 + 20.48) times 0.3771 = 120.48 times 0.3771 approx 45.48
Ainda acima de 41.05, mas estamos aproximando.

Passo 8

Continuando a ajustar, tentamos Vm = 0.435 dm^3/mol:
(100 + 3.610(0.435)^2) times (0.435 - 0.0429) = (100 + 3.6100.1892) times 0.3921
Calculando:
(100 + 19.07) times 0.3921 = 119.07 times 0.3921 approx 46.72
Ainda maior que 41.05. Vamos aumentar mais.

Passo 9

Tentamos Vm = 0.450 dm^3/mol:
(100 + 3.610(0.450)^2) times (0.450 - 0.0429) = (100 + 3.6100.2025) times 0.4071
Calculando:
(100 + 17.82) times 0.4071 = 117.82 times 0.4071 approx 47.92
Ainda precisamos continuar ajustando, mas percebemos que com o aumento de Vm, o resultado ainda não está igualando 41.05, o que indica que nossa aproximação inicial pode precisar de refinamento ou uso de métodos numéricos mais precisos.

Resposta

Após as aproximações realizadas, estimamos que o volume molar do CO2 a 500 K e 100 atm, considerando o comportamento de van der Waals, está aproximadamente entre 0.4105 dm^3/mol e 0.450 dm^3/mol. Para uma precisão maior, seria necessário utilizar métodos numéricos mais avançados.

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