Suponha que
tenha uma distribuição normal bidimensional. Descreva a função densidade de probabilidade conjunta de
e as distribuições marginais de
e
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre a distribuição normal bidimensional. Precisamos descrever a função densidade de probabilidade conjunta de
e encontrar as distribuições marginais de
e
. Para isso, vamos precisar entender a fórmula da distribuição normal bivariada e como obter as distribuições marginais a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a função densidade de probabilidade conjunta para uma distribuição normal bidimensional. A fórmula geral é:
Aqui:
-
e são as médias de e , respectivamente. -
e são os desvios padrão de e . -
é o coeficiente de correlação entre e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as distribuições marginais de
e
. As distribuições marginais são obtidas integrando a função densidade conjunta em relação à outra variável. No caso da distribuição normal bidimensional, as marginais de
e
também são normais.
Passo 4
Para a marginal de
:
E para a marginal de
:
Isso mostra que
e
têm distribuições normais individuais com médias
e
, e desvios padrão
e
, respectivamente.
Resposta
A função densidade de probabilidade conjunta de
é:
As distribuições marginais são: