Suponha que tenha uma distribuição normal bidimensional. Descreva a função densidade de probabilidade conjunta de e as distribuições marginais de e .

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre a distribuição normal bidimensional. Precisamos descrever a função densidade de probabilidade conjunta de e encontrar as distribuições marginais de e . Para isso, vamos precisar entender a fórmula da distribuição normal bivariada e como obter as distribuições marginais a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a função densidade de probabilidade conjunta para uma distribuição normal bidimensional. A fórmula geral é:
Aqui:
  • e são as médias de e , respectivamente.
  • e são os desvios padrão de e .
  • é o coeficiente de correlação entre e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as distribuições marginais de e . As distribuições marginais são obtidas integrando a função densidade conjunta em relação à outra variável. No caso da distribuição normal bidimensional, as marginais de e também são normais.

Passo 4

Para a marginal de :
E para a marginal de :
Isso mostra que e têm distribuições normais individuais com médias e , e desvios padrão e , respectivamente.

Resposta

A função densidade de probabilidade conjunta de é:
As distribuições marginais são:

Exercícios relacionados

Uma máquina fabrica chapas de metal com espessura média de 8 mm e desvio padrão de . Verifica-se que das chapas estão sendo rejeitadas por estarem muito espessas e por estarem pouco espessas. Admitindo que a espessura dessas chapas segue uma distribuição Normal, pergunta-se:
Quais são os limites de tolerância de especificação para essa variável? Resposta: (Limite inferior: e Limite superior: )
Um bom indicador do nível de intoxicação por benzeno é a quantidade de fenol encontrada na urina. Suponha que a quantidade de fenol em moradores de uma cidade segue uma distribuição normal com média Le desvio padrão L. Define-se valor de referência o nível de fenol tal que da população apresente quantidade menor ou igual a este valor. Define-se uma pessoa como atípica se sua quantidade de fenol estiver inferior a ou superior a .
Qual é o valor de referência para a quantidade de fenol nesta cidade? (Resposta:
Numa estrada há 2 acidentes para cada 100 Km . Qual a probabilidade de que em:
250 Km ocorram pelo menos 3 acidentes? (Resposta: 0,8754)
Um lote de aparelhos de TV é recebido por uma firma. Vinte aparelhos são inspecionados. O lote é rejeitado se pelo menos 4 forem defeituosos. Sabendo-se que dos aparelhos é defeituoso, determinar a probabilidade de a firma rejeitar todo o lote. R.: