Suponha que (X, Y) tenha uma distribuição normal bidimensional. Descreva a função densidade de probabilidade conjunta de (X, Y) e as distribuições marginais de X e Y.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre a distribuição normal bidimensional. Precisamos descrever a função densidade de probabilidade conjunta de e encontrar as distribuições marginais de e . Para isso, vamos precisar entender a fórmula da distribuição normal bivariada e como obter as distribuições marginais a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a função densidade de probabilidade conjunta para uma distribuição normal bidimensional. A fórmula geral é:
Aqui:
  • fX,Y(x, y) = 12pisigmaXsigmaYraiz1-rho^2 exp( -12(1-rho^2) [ ( x - muXsigmaX )^2 - 2rho ( x - muXsigmaX )( y - muYsigmaY ) + ( y - muYsigmaY )^2 ] ) e são as médias de e , respectivamente.
  • e são os desvios padrão de e .
  • é o coeficiente de correlação entre e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as distribuições marginais de e . As distribuições marginais são obtidas integrando a função densidade conjunta em relação à outra variável. No caso da distribuição normal bidimensional, as marginais de e também são normais.

Passo 4

Para a marginal de fX(x) = integral-infty^infty fX,Y(x, y) , dy = 1raiz2pisigmaX exp( -(x - muX)^22sigmaX^2 ) :
fY(y) = integral-infty^infty fX,Y(x, y) , dx = 1raiz2pisigmaY exp( -(y - muY)^22sigmaY^2 )
E para a marginal de :
Isso mostra que e têm distribuições normais individuais com médias e , e desvios padrão e , respectivamente.

Resposta

A função densidade de probabilidade conjunta de fX,Y(x, y) = 12pisigmaXsigmaYraiz1-rho^2 exp( -12(1-rho^2) [ ( x - muXsigmaX )^2 - 2rho ( x - muXsigmaX )( y - muYsigmaY ) + ( y - muYsigmaY )^2 ] ) é:
fX(x) = 1raiz2pisigmaX exp( -(x - muX)^22sigmaX^2 )
As distribuições marginais são:
fY(y) = 1raiz2pisigmaY exp( -(y - muY)^22sigmaY^2 )

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