Para a estrutura abaixo, feita de aço
, desenvolva a equação da linha elástica (2 pontos) e determine a carga que pode ser aplicada de modo que o deslocamento da seção S não ultrapasse 0,01m (2 pontos).
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício que a gente tem aqui fala sobre uma estrutura feita de aço, com módulo de elasticidade
. A primeira parte pede para desenvolvermos a equação da linha elástica, que basicamente descreve como a estrutura se deforma sob carga. A segunda parte quer que a gente descubra qual carga pode ser aplicada sem que o deslocamento na seção S ultrapasse
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente o estudo de flexão de vigas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a linha elástica. É uma curva que representa a deformação de uma viga quando uma carga é aplicada. Para encontrar essa equação, usamos a fórmula da deflexão em vigas sujeitas a carga. A equação geral da linha elástica é dada por:
Onde:
-
é o deslocamento vertical, -
é a posição ao longo da viga, -
é o momento fletor em função de , -
é o módulo de elasticidade, -
é o momento de inércia da seção transversal.
Passo 3
Agora, precisamos saber o tipo de carga e as condições de apoio da estrutura para determinar
. Supondo que seja uma viga simplesmente apoiada com uma carga pontual
aplicada no meio, o momento fletor seria:
Onde
é o comprimento da viga.
Passo 4
Vamos integrar a equação da linha elástica duas vezes para encontrar
. Integrando uma vez:
E integrando novamente:
Aqui,
e
são constantes de integração que determinamos usando as condições de apoio (por exemplo,
e
para uma viga simplesmente apoiada).
Passo 5
Após determinar
, a próxima etapa é encontrar a carga
que fará com que o deslocamento máximo
seja
. Sabemos que o deslocamento máximo ocorre no ponto onde a carga é aplicada, então podemos usar a fórmula da deflexão máxima para uma viga simplesmente apoiada com carga central:
Queremos que
, então isolamos
:
Resposta
Portanto, a carga máxima que pode ser aplicada sem que o deslocamento na seção S ultrapasse
é:
Para obter um valor numérico, você precisa conhecer o momento de inércia
da seção transversal e o comprimento
da viga.