Para a estrutura abaixo, feita de aço E=200 GPa, desenvolva a equação da linha elástica (2 pontos) e determine a carga que pode ser aplicada de modo que o deslocamento da seção S não ultrapasse 0,01m (2 pontos).

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício que a gente tem aqui fala sobre uma estrutura feita de aço, com módulo de elasticidade E = 200,GPa. A primeira parte pede para desenvolvermos a equação da linha elástica, que basicamente descreve como a estrutura se deforma sob carga. A segunda parte quer que a gente descubra qual carga pode ser aplicada sem que o deslocamento na seção S ultrapasse 0,01,m. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente o estudo de flexão de vigas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a linha elástica. É uma curva que representa a deformação de uma viga quando uma carga é aplicada. Para encontrar essa equação, usamos a fórmula da deflexão em vigas sujeitas a carga. A equação geral da linha elástica é dada por:
d^2ydx^2 = M(x)EI
Onde:
  • y é o deslocamento vertical,
  • x é a posição ao longo da viga,
  • M(x) é o momento fletor em função de x,
  • E é o módulo de elasticidade,
  • I é o momento de inércia da seção transversal.

Passo 3

Agora, precisamos saber o tipo de carga e as condições de apoio da estrutura para determinar M(x). Supondo que seja uma viga simplesmente apoiada com uma carga pontual P aplicada no meio, o momento fletor seria:
M(x) = P2x & para 0 <= x <= L2 P2(L - x) & para L2 <= x <= L
Onde L é o comprimento da viga.

Passo 4

Vamos integrar a equação da linha elástica duas vezes para encontrar y(x). Integrando uma vez:
dydx = integral M(x)EI dx + C1
E integrando novamente:
y(x) = integral ( integral M(x)EI dx ) dx + C1x + C2
Aqui, C1 e C2 são constantes de integração que determinamos usando as condições de apoio (por exemplo, y(0) = 0 e y(L) = 0 para uma viga simplesmente apoiada).

Passo 5

Após determinar y(x), a próxima etapa é encontrar a carga P que fará com que o deslocamento máximo ymax seja 0,01,m. Sabemos que o deslocamento máximo ocorre no ponto onde a carga é aplicada, então podemos usar a fórmula da deflexão máxima para uma viga simplesmente apoiada com carga central:
ymax = P L^348 E I
Queremos que ymax = 0,01,m, então isolamos P:
P = 48 E I ymaxL^3

Resposta

Portanto, a carga máxima que pode ser aplicada sem que o deslocamento na seção S ultrapasse 0,01,m é:
P = 48 times 200,GPa times I times 0,01,mL^3
Para obter um valor numérico, você precisa conhecer o momento de inércia I da seção transversal e o comprimento L da viga.

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