A estrutura do cromo à temperatura ambiente é cúbica de corpo centrado (CCC). Cr tem raio atômico de 0,125 nm e peso atômico de 52,00 g mol^-1. Calcule: (a) o paràmetro de rede do Cr , (b) a densidade linear (número de átomos por nm ) na direção [111] e © a densidade planar (número de átomos por nm²) no plano (110).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a estrutura cristalina do cromo (Cr). A questão fala que o Cr tem uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) e nos dá o raio atômico e o peso atômico. Vamos precisar usar conceitos de geometria dos cristais, densidade linear e densidade planar para calcular o que foi pedido. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Calcular o parâmetro de rede do Cr
Primeiro, o parâmetro de rede é a distância entre os átomos em um cristal. Como a estrutura é cúbica de corpo centrado (CCC), sabemos que há um átomo no centro do cubo e um em cada canto. A relação entre o raio atômico ® e o parâmetro de rede (a) para o CCC é:
raiz3 cdot a = 4r
Vamos isolar o a:
a = 4rraiz3
Sabemos que o raio atômico do Cr é a = 4 times 0,125raiz3 . Substituindo na fórmula:

Passo 3

Calculando o valor:
a = 0,51,732 approx 0,289 , nm

Passo 4

Parte (b): Calcular a densidade linear na direção [111]
A densidade linear é o número de átomos por unidade de comprimento em uma direção específica. Na direção [111] da estrutura CCC, os átomos são alinhados ao longo da diagonal do cubo. O comprimento dessa diagonal na direção [111] é:
d[111] = a raiz3
Sabemos que nessa direção, ao longo da diagonal, dois átomos estão alinhados (um no centro e nos cantos). Então, a densidade linear (n) é:
n = 2d[111] = 2a raiz3
Substituindo o valor de a que encontramos:
n = 20,289 times 1,732

Passo 5

Calculando o valor:
n = 20,500 = 4 , átomos/nm á

Passo 6

Parte ©: Calcular a densidade planar no plano (110)
A densidade planar é o número de átomos por unidade de área em um plano específico. No plano (110) da estrutura CCC, observamos que cada unidade de área contém dois átomos (um completo e dois compartilhados com vizinhos).
A área do plano (110) é:
A(110) = a times a raiz2 = a^2 raiz2
Então, a densidade planar (σ) é:
sigma = 2 átomosa^2 raiz2 á
Substituindo o valor de a:
sigma = 2(0,289)^2 times 1,414

Resposta

(a) O parâmetro de rede do Cr é aproximadamente 0,289 nm.
(b) A densidade linear na direção [111] é 4 átomos/nm.
© A densidade planar no plano (110) é aproximadamente 3,41 átomos/nm².

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