Está se estudando a quantidade de erros não forçados de um grupo de jogadores de tênis ao longo de um campeonato (que se supõe normalmente distribuida).
Se coleta uma amostra aleatória de 16 partidas ao longo do campeonato, verificandose uma variância amostral de
. Construa um intervalo de confiança de
para a variância real,
de erros nāo forçados durante o campeonato.
Se coleta uma amostra aleatória de 16 partidas ao longo do campeonato, verificandose uma variância amostral de
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente está estudando quantos erros não forçados os jogadores de tênis cometem durante um campeonato, e esses erros seguem uma distribuição normal. Foi tirada uma amostra de 16 partidas, e a variância dessa amostra foi de $ S^{2} = 4 $. A tarefa é construir um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira variância $ \sigma^{2} $ dos erros durante o campeonato.
Para resolver isso, vamos usar a distribuição qui-quadrado ($ \chi^{2} $), que é apropriada para construir intervalos de confiança para variância quando os dados são normalmente distribuídos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o intervalo de confiança da variância usando a distribuição qui-quadrado. A fórmula é:
Aqui:
- $ n $ é o tamanho da amostra.
- $ S^{2} $ é a variância amostral.
- $ \chi^{2}{\alpha/2} $ e $ \chi^{2}{1 - \alpha/2} $ são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para os níveis de confiança desejados.
Passo 3
Vamos identificar os valores que já conhecemos no nosso problema:
- $ n = 16 $ (tamanho da amostra)
- $ S^{2} = 4 $ (variância amostral)
- Nível de confiança = 95%, então $ \alpha = 0,05 $
Portanto, $ \alpha/2 = 0,025 $ e $ 1 - \alpha/2 = 0,975 $.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores críticos da distribuição qui-quadrado ($ \chi^{2} $) com $ df = n - 1 = 15 $ graus de liberdade para $ \alpha/2 = 0,025 $ e $ 1 - \alpha/2 = 0,975 $.
Consultando uma tabela de qui-quadrado ou usando uma calculadora estatística, encontramos:
- $ \chi^{2}_{0,025, 15} \approx 6,262 $
- $ \chi^{2}_{0,975, 15} \approx 27,488 $
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores na fórmula do intervalo de confiança:
Calculando o numerador:
Passo 6
Dividindo 60 pelos valores críticos:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a variância real $ \sigma^{2} $ de erros não forçados durante o campeonato é aproximadamente $ (2,18, , 9,60) $.