Está se estudando a taxa de queima de um propulsor de foguetes (que se supõe normalmente distribuída). Por meio de uma amostra aleatória de tamanho igual a 16, deseja-se realizar alguns testes de hipótese (todos com 95 % de confianga).
Suponha que o investigador desconheça a variância populacional. Realize o teste de hipóteses H0: sigma^2 >= 25 cm^2 / s^2 versus H1: sigma^2<25 cm^2 / s^2. Utilize of desvio [padrāo amostral] S=3 cm / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente está estudando a taxa de queima de um propulsor de foguetes, que a gente sabe que segue uma distribuição normal. Nós pegamos uma amostra aleatória de 16 foguetes e queremos testar uma hipótese sobre a variância dessa taxa de queima. Como a gente não conhece a variância da população, vamos usar o desvio padrão amostral que foi dado: $ S = 3 , cm/s $. Nosso objetivo é verificar se a variância é menor que $ 25 , cm2/\text{s}2 $ com um nível de confiança de 95%.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula ($ H_0 $): $ \sigma^2 \geq 25 , cm2/\text{s}2 $
  • Hipótese Alternativa ($ H_1 $): $ \sigma^2 < 25 , cm2/\text{s}2 $
Como não conhecemos a variância da população e estamos lidando com uma distribuição normal, vamos usar o Teste Qui-Quadrado para variância.

Passo 3

A gente precisa calcular o estatístico de teste usando a fórmula:
chi^2 = (n - 1) cdot S^2sigma0^2
Onde:
  • $ n = 16 $ é o tamanho da amostra
  • $ S = 3 , cm/s $ é o desvio padrão amostral, então $ S^2 = 9 , cm2/\text{s}2 $
  • $ \sigma_0^2 = 25 , cm2/\text{s}2 $ é a variância sob a hipótese nula
Vamos então calcular:
n = 16

Passo 4

Agora, vamos determinar o valor crítico da distribuição Qui-Quadrado com $ \alpha = 0,05 $ (já que o nível de confiança é 95%) e $ df = n - 1 = 15 $ graus de liberdade para um teste à esquerda.
Consultando uma tabela de Qui-Quadrado ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico $ \chi^2_{crítico} $ para $ \alpha = 0,05 $ e $ df = 15 $ é aproximadamente 7,261.

Passo 5

Vamos comparar o nosso estatístico de teste com o valor crítico:
  • Se $ \chi^2 \leq \chi^2_{crítico} $, rejeitamos $ H_0 $.
  • Se $ \chi^2 > \chi^2_{crítico} $, não rejeitamos $ H_0 $.
No nosso caso:
chi^2 <= chi^2crítico
Então, como $ 5,4 $ é menor que $ 7,261 $, a gente rejeita a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de confiança de 95%, rejeitamos $ H_0 $ e concluímos que a variância da taxa de queima é menor que $ 25 , cm2/\text{s}2 $.

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