Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes. Cada uma com distribuição Uniforme em (0,1). Obtenha
(a) P(|X-Y| <= 0,5)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes e seguem uma distribuição Uniforme no intervalo X . A pergunta é para encontrar a probabilidade de que a diferença absoluta entre $ X $ e $ Y $ seja menor ou igual a 0,5, ou seja, $ P(|X - Y| \leq 0,5) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e geometria, já que estamos trabalhando com variáveis contínuas uniformemente distribuídas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as variáveis $ X $ e $ Y $ no plano cartesiano. Como ambas variáveis são uniformes em X e independentes, podemos pensar em todas as possíveis combinações de $ X $ e $ Y $ como pontos dentro de um quadrado onde $ X $ varia de 0 a 1 no eixo horizontal e $ Y $ varia de 0 a 1 no eixo vertical.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a região onde a diferença absoluta $ |X - Y| $ é menor ou igual a 0,5. Isso significa que $ X - Y $ está entre |X - Y| e X - Y . Matemáticamente, temos:
-0,5
Podemos rearranjar essa desigualdade para:
0,5
Isso define duas linhas retas no nosso quadrado: $ X = Y + 0,5 $ e $ X = Y - 0,5 $.

Passo 4

Vamos desenhar essas duas linhas no quadrado (0,1) times (0,1):
  • A linha $ X = Y + 0,5 $ começa em $ Y = 0 $, $ X = 0,5 $ e vai até $ Y = 0,5 $, $ X = 1 $.
  • A linha $ X = Y - 0,5 $ começa em $ Y = 0,5 $, $ X = 0 $ e vai até $ Y = 1 $, $ X = 0,5 $.
A região entre essas duas linhas é onde $ |X - Y| \leq 0,5 $.

Passo 5

Para encontrar a probabilidade desejada, precisamos calcular a área dessa região dentro do quadrado total. Vamos dividir isso em duas partes:
  1. Quando $ Y \leq 0,5 $:
    • A largura da região é de $ Y + 0,5 $ (desde $ X = 0 $ até $ X = Y + 0,5 $).
    • A área dessa parte é:
    Y <= 0,5
  2. Quando $ Y > 0,5 $:
    • A largura da região é de $ 1,5 - Y $ (desde $ X = Y - 0,5 $ até $ X = 1 $).
    • A área dessa parte é:
    Y + 0,5

Passo 6

Somando as duas áreas, temos a probabilidade total:
0,375 + 0,375 = 0,75

Resposta

A probabilidade $ P(|X - Y| \leq 0,5) $ é igual a 0,75.

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