Sejam
e
variáveis aleatórias independentes. Cada uma com distribuição Uniforme em
. Obtenha
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes e seguem uma distribuição Uniforme no intervalo
. A pergunta é para encontrar a probabilidade de que a diferença absoluta entre $ X $ e $ Y $ seja menor ou igual a 0,5, ou seja, $ P(|X - Y| \leq 0,5) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e geometria, já que estamos trabalhando com variáveis contínuas uniformemente distribuídas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as variáveis $ X $ e $ Y $ no plano cartesiano. Como ambas variáveis são uniformes em
e independentes, podemos pensar em todas as possíveis combinações de $ X $ e $ Y $ como pontos dentro de um quadrado onde $ X $ varia de 0 a 1 no eixo horizontal e $ Y $ varia de 0 a 1 no eixo vertical.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a região onde a diferença absoluta $ |X - Y| $ é menor ou igual a 0,5. Isso significa que $ X - Y $ está entre
e
. Matemáticamente, temos:
Podemos rearranjar essa desigualdade para:
Isso define duas linhas retas no nosso quadrado: $ X = Y + 0,5 $ e $ X = Y - 0,5 $.
Passo 4
Vamos desenhar essas duas linhas no quadrado
:
- A linha $ X = Y + 0,5 $ começa em $ Y = 0 $, $ X = 0,5 $ e vai até $ Y = 0,5 $, $ X = 1 $.
- A linha $ X = Y - 0,5 $ começa em $ Y = 0,5 $, $ X = 0 $ e vai até $ Y = 1 $, $ X = 0,5 $.
A região entre essas duas linhas é onde $ |X - Y| \leq 0,5 $.
Passo 5
Para encontrar a probabilidade desejada, precisamos calcular a área dessa região dentro do quadrado total. Vamos dividir isso em duas partes:
- Quando $ Y \leq 0,5 $:
- A largura da região é de $ Y + 0,5 $ (desde $ X = 0 $ até $ X = Y + 0,5 $).
- A área dessa parte é:
- Quando $ Y > 0,5 $:
- A largura da região é de $ 1,5 - Y $ (desde $ X = Y - 0,5 $ até $ X = 1 $).
- A área dessa parte é:
Passo 6
Somando as duas áreas, temos a probabilidade total:
Resposta
A probabilidade $ P(|X - Y| \leq 0,5) $ é igual a 0,75.