Sejam
e
variáveis aleatórias independentes. Cada uma com distribuição Uniforme em
. Obtenha
(b)
(b)
Passo 1
Então, a gente tem duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes e seguem uma distribuição Uniforme no intervalo de 0 a 1. A questão quer saber qual a probabilidade de $ Y $ ser maior ou igual a $ X $, dado que $ Y $ já é pelo menos 1/2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e entender como as áreas se relacionam nesse contexto uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade condicional $ P(A \mid B) $ é calculada como $ \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $. No nosso caso, $ A $ é o evento $ Y \geq X $ e $ B $ é o evento $ Y \geq \frac{1}{2} $.
Passo 3
Vamos calcular $ P(B) $, que é a probabilidade de $ Y $ ser pelo menos 1/2. Como $ Y $ é uniforme entre 0 e 1, essa probabilidade é simplesmente a parte do intervalo onde $ Y \geq \frac{1}{2} $. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P(A \cap B) $, que é a probabilidade de $ Y \geq X $ e $ Y \geq \frac{1}{2} $ ao mesmo tempo. Visualizando no plano cartesiano, isso corresponde à área onde $ Y $ está acima de $ X $ e também acima de 1/2.
Passo 5
Para encontrar essa área, vamos integrar $ Y $ de 1/2 até 1 e, para cada valor de $ Y $, $ X $ pode variar de 0 até $ Y $:
Passo 6
Agora, aplicando a fórmula da probabilidade condicional:
Resposta
A probabilidade é $ \frac{3}{4} $.