Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty 2^n+3-3^4+n5^n-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, vamos também calcular a soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e manipulação de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Vamos reescrever os termos do numerador e do denominador:
2^n+3-3^4+n5^n-2 = 2^n cdot 2^3 - 3^4 cdot 3^n5^n cdot 5^-2 = 8 cdot 2^n - 81 cdot 3^n5^n cdot 125

Passo 3

Agora, multiplicamos numerador e denominador para simplificar:
8 cdot 2^n - 81 cdot 3^n5^n25 = 25 cdot 8 cdot 2^n - 81 cdot 3^n5^n = 25 ( 8 cdot ( 25 )^n - 81 cdot ( 35 )^n )

Passo 4

Agora, nossa série fica:
sumn=1^infty 25 ( 8 ( 25 )^n - 81 ( 35 )^n ) = 25 ( 8 sumn=1^infty ( 25 )^n - 81 sumn=1^infty ( 35 )^n )

Passo 5

Reconhecemos que as séries são séries geométricas, que convergem se e têm soma igual a . Vamos aplicar essa fórmula para cada uma das séries.

Passo 6

Calculando cada série separadamente:
sumn=1^infty ( 25 )^n = 251 - 25 = 2535 = 23
sumn=1^infty ( 35 )^n = 351 - 35 = 3525 = 32

Passo 7

Substituindo esses resultados de volta na expressão original:
25 ( 8 cdot 23 - 81 cdot 32 ) = 25 ( 163 - 2432 )

Passo 8

Para resolver a expressão dentro dos parênteses, vamos encontrar um denominador comum:
163 - 2432 = 326 - 7296 = 32 - 7296 = -6976

Passo 9

Multiplicando pelo 25:
25 cdot -6976 = -174256 approx -2904,17

Resposta

A série converge e a soma dos seus termos é ou aproximadamente .

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