Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, vamos também calcular a soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e manipulação de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Vamos reescrever os termos do numerador e do denominador:

Passo 3

Agora, multiplicamos numerador e denominador para simplificar:

Passo 4

Agora, nossa série fica:

Passo 5

Reconhecemos que as séries são séries geométricas, que convergem se e têm soma igual a . Vamos aplicar essa fórmula para cada uma das séries.

Passo 6

Calculando cada série separadamente:

Passo 7

Substituindo esses resultados de volta na expressão original:

Passo 8

Para resolver a expressão dentro dos parênteses, vamos encontrar um denominador comum:

Passo 9

Multiplicando pelo 25:

Resposta

A série converge e a soma dos seus termos é ou aproximadamente .

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