Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, vamos também calcular a soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e manipulação de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Vamos reescrever os termos do numerador e do denominador:
Passo 3
Agora, multiplicamos numerador e denominador para simplificar:
Passo 4
Agora, nossa série fica:
Passo 5
Reconhecemos que as séries
são séries geométricas, que convergem se
e têm soma igual a
. Vamos aplicar essa fórmula para cada uma das séries.
Passo 6
Calculando cada série separadamente:
Passo 7
Substituindo esses resultados de volta na expressão original:
Passo 8
Para resolver a expressão dentro dos parênteses, vamos encontrar um denominador comum:
Passo 9
Multiplicando pelo 25:
Resposta
A série converge e a soma dos seus termos é
ou aproximadamente
.