Existe alguma solução
desse sistema que não pode ser escrita na forma
? Por que?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou se existe alguma solução
desse sistema que não pode ser escrita na forma
. Isso está relacionado ao estudo de sistemas lineares e às soluções gerais desses sistemas. Para resolver, vamos precisar entender como as soluções de sistemas lineares se combinam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em sistemas lineares de equações diferenciais, se temos duas soluções particulares,
e
, e se elas são linearmente independentes, podemos formar a solução geral do sistema combinando essas soluções com constantes
e
. Ou seja, toda solução pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas soluções.
Passo 3
Agora, se as soluções
e
não forem linearmente independentes, significa que uma delas pode ser escrita como um múltiplo da outra. Nesse caso, a solução geral não precisaria de duas constantes, apenas uma seria suficiente. Mas, se elas são lineares e não têm essa dependência, então todas as soluções possíveis do sistema podem de fato ser escritas nessa forma com
e
variando.
Passo 4
Portanto, não existe nenhuma solução do sistema que não possa ser escrita como
, desde que
e
sejam soluções lineares independentes do sistema. Todas as soluções possíveis são alcançadas por essa combinação linear.
Resposta
Não, toda solução
pode ser escrita como
, pois
e
formam a base das soluções do sistema.