Estudante : Matricula:
2- Uma pessoa está em uma plataforma de 2,5 m de altura colocada em um terreno plano. Uma bola é chutada com uma velocidade de 20 m / s em um ângulo de 30^circ em relação a horizontal. (a) A que distância ela cai no solo a partir da base da plataforma.

Passo 1

Então, a gente tem uma situação em que uma pessoa está em uma plataforma de 2,5 metros de altura. Ela chuta uma bola com uma velocidade de 20 metros por segundo, num ângulo de 30 graus em relação ao chão. O que a gente precisa descobrir aqui é até que distância, horizontalmente, essa bola vai cair no solo a partir da base da plataforma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes do movimento da bola. Quando a bola é chutada, ela tem uma velocidade inicial que pode ser dividida em duas partes: uma horizontal e uma vertical. Isso é importante porque vamos tratar cada movimento separadamente.
A velocidade horizontal ( vx) é dada por:
vx = v cdot cos(theta)
E a velocidade vertical inicial ( vy0) é:
vy0 = v cdot sin(theta)
Onde:
  • v = 20 , m/s (velocidade inicial)
  • theta = 30^circ (ângulo de lançamento)

Passo 3

Vamos calcular essas componentes:
vx = 20 cdot cos(30^circ) = 20 cdot ( raiz32 ) approx 17,32 , m/s
vy0 = 20 cdot sin(30^circ) = 20 cdot ( 12 ) = 10 , m/s

Passo 4

Agora, vamos determinar quanto tempo a bola leva para chegar ao chão. Para isso, vamos analisar o movimento vertical. A equação que descreve a posição vertical ( y) em função do tempo ( t) é:
y = y0 + vy0 t - 12 g t^2
Onde:
  • y0 = 2,5 , m (altura da plataforma)
  • g = 9,8 , m/s^2 (aceleração da gravidade)
Queremos saber quando a bola chega ao chão, ou seja, quando y = 0:
0 = 2,5 + 10 t - 12 cdot 9,8 cdot t^2
Simplificando:
0 = 2,5 + 10 t - 4,9 t^2
Reorganizando:
4,9 t^2 - 10 t - 2,5 = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o tempo t. A fórmula de Bhaskara é:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde, na nossa equação:
  • a = 4,9
  • b = -10
  • c = -2,5
Calculando o discriminante ( De):
De
Então:
t = 10 pm raiz1499,8
A raiz de 149 é aproximadamente 12,21, então:
t = 10 + 12,219,8 approx 22,219,8 approx 2,27 , s
Desprezamos a solução negativa porque o tempo não pode ser negativo.

Passo 6

Agora que sabemos o tempo que a bola leva para atingir o chão ( t approx 2,27 , s), podemos calcular a distância horizontal que ela percorre nesse tempo. A distância horizontal ( d) é dada por:
d = vx cdot t
Substituindo os valores:
d = 17,32 , m/s cdot 2,27 , s approx 39,29 , m

Resposta

A bola cai aproximadamente a 39,3 metros da base da plataforma.

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