Um estudante tem 3 exames. A probabilidade de ter nota positiva em cada um é de 12 e os resultados são independentes. Calcule a probabilidade de ter nota positiva:
(a) Em pelo menos um exame.
(b) Exatamente um exame.

Passo 1

Então, a gente tem um estudante que vai fazer 3 exames. A probabilidade de ele tirar uma nota positiva em cada exame é de 12, e os resultados dos exames não interferem uns nos outros, ou seja, são independentes. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especialmente relacionados a eventos independentes, para calcular as probabilidades pedidas nas partes (a) e (b).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “ter nota positiva em pelo menos um exame”. Isso quer dizer que o estudante pode ter uma, duas ou todas as três notas positivas. Mas calcular todas essas possibilidades pode ser trabalhoso, então vamos usar uma estratégia mais simples: calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de não ter nenhuma nota positiva e subtrair esse valor de 1.

Passo 3

A probabilidade de não ter nenhuma nota positiva em um exame é o complemento de ter uma nota positiva. Então, se a probabilidade de ter nota positiva é 12, a probabilidade de não ter nota positiva é também 12. Como os exames são independentes, a probabilidade de não ter nenhuma nota positiva nos 3 exames é (12)^3 = 18.

Passo 4

Agora, para encontrar a probabilidade de ter pelo menos uma nota positiva, subtraímos a probabilidade de não ter nenhuma nota positiva de 1:
P(pelo menos uma positiva) = 1 - P(nenhuma positiva) = 1 - 18 = 78

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de ter exatamente uma nota positiva nos 3 exames. Isso significa que o estudante tira uma nota positiva em um exame e notas negativas nos outros dois.

Passo 6

Para encontrar essa probabilidade, vamos considerar todas as combinações possíveis onde apenas um exame tem nota positiva. Como temos 3 exames, há 3 maneiras diferentes de isso acontecer: a nota positiva pode ser no primeiro, no segundo ou no terceiro exame.

Passo 7

A probabilidade de ter uma nota positiva em um exame é 12 e a de ter nota negativa é também 12. Para cada combinação específica, a probabilidade é:
12 times 12 times 12 = 18
Como há 3 combinações possíveis, multiplicamos essa probabilidade por 3.

Passo 8

Então, a probabilidade total de ter exatamente uma nota positiva é:
3 times 18 = 38

Resposta

A probabilidade de ter exatamente uma nota positiva em um dos exames é 38.

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