Um estudante tem 3 exames. A probabilidade de ter nota positiva em cada um é de
e os resultados são independentes. Calcule a probabilidade de ter nota positiva:
(a) Em pelo menos um exame.
(b) Exatamente um exame.
(a) Em pelo menos um exame.
(b) Exatamente um exame.
Passo 1
Então, a gente tem um estudante que vai fazer 3 exames. A probabilidade de ele tirar uma nota positiva em cada exame é de
, e os resultados dos exames não interferem uns nos outros, ou seja, são independentes. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especialmente relacionados a eventos independentes, para calcular as probabilidades pedidas nas partes (a) e (b).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “ter nota positiva em pelo menos um exame”. Isso quer dizer que o estudante pode ter uma, duas ou todas as três notas positivas. Mas calcular todas essas possibilidades pode ser trabalhoso, então vamos usar uma estratégia mais simples: calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de não ter nenhuma nota positiva e subtrair esse valor de 1.
Passo 3
A probabilidade de não ter nenhuma nota positiva em um exame é o complemento de ter uma nota positiva. Então, se a probabilidade de ter nota positiva é
, a probabilidade de não ter nota positiva é também
. Como os exames são independentes, a probabilidade de não ter nenhuma nota positiva nos 3 exames é
.
Passo 4
Agora, para encontrar a probabilidade de ter pelo menos uma nota positiva, subtraímos a probabilidade de não ter nenhuma nota positiva de 1:
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de ter exatamente uma nota positiva nos 3 exames. Isso significa que o estudante tira uma nota positiva em um exame e notas negativas nos outros dois.
Passo 6
Para encontrar essa probabilidade, vamos considerar todas as combinações possíveis onde apenas um exame tem nota positiva. Como temos 3 exames, há 3 maneiras diferentes de isso acontecer: a nota positiva pode ser no primeiro, no segundo ou no terceiro exame.
Passo 7
A probabilidade de ter uma nota positiva em um exame é
e a de ter nota negativa é também
. Para cada combinação específica, a probabilidade é:
Como há 3 combinações possíveis, multiplicamos essa probabilidade por 3.
Passo 8
Então, a probabilidade total de ter exatamente uma nota positiva é:
Resposta
A probabilidade de ter exatamente uma nota positiva em um dos exames é
.