Ao estudar a estrutura atômica de uma liga metálica, um cientista modela a oscilação dos átomos por um movimento harmônico simples, cuja função horária para posição é x=1,2 cos (pi+pi t), com o tempo em microssegundos e a amplitude em nanômetros. Determine:
d) função horária da aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a estrutura atômica de uma liga metálica e modela a oscilação dos átomos usando um movimento harmônico simples (MHS). A função que nos dá a posição dos átomos em função do tempo é x = 1,2 cos (pi + pi t). Nosso objetivo aqui é encontrar a função horária da aceleração desses átomos. Para isso, vamos precisar entender como a posição, a velocidade e a aceleração estão relacionadas no MHS.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no movimento harmônico simples, a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar a função x(t) duas vezes para encontrar a(t).

Passo 3

Vamos começar derivando a posição x(t) = 1,2 cos (pi + pi t) em relação ao tempo t para encontrar a velocidade v(t).
A derivada de cos(theta) em relação a theta é - sin(theta), e pela regra da cadeia, multiplicamos pela derivada interna ddt(pi + pi t) = pi.
Então,
v(t) = dxdt = -1,2 pi sin(pi + pi t)
Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração a(t).
a(t) = dvdt = -1,2 pi cdot pi cos(pi + pi t) = -1,2 pi^2 cos(pi + pi t)

Resposta

A função horária da aceleração é
a(t) = -1,2, pi^2 cos(pi + pi t)

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