No espaço vetorial R^3, considere a base B=(1,0,0),(0,1,0),(1,-1,1). Determine o vetor coordenada de v in R^3 em relação a base B se:
v=(3,5,6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor v = (3,5,6) no espaço tridimensional R^3 e uma base B = (1,0,0), (0,1,0), (1,-1,1). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de v em relação a essa base B. Isso significa que queremos descobrir quais combinações lineares desses três vetores da base vão nos dar o vetor v. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o vetor v como uma combinação linear dos vetores da base B. Isso fica assim:
c1 cdot (1,0,0) + c2 cdot (0,1,0) + c3 cdot (1,-1,1) = (3,5,6)
Aqui, c1, c2 e c3 são as coordenadas que queremos encontrar. Isso significa que:
(c1 + c3, c2 - c3, c3) = (3,5,6)

Passo 3

Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
  1. c1 + c3 = 3
  2. c2 - c3 = 5
  3. c3 = 6
Já temos o valor de c3 diretamente da terceira equação: c3 = 6. Agora, substituímos esse valor nas outras equações para encontrar c1 e c2.
Substituindo c3 = 6 na primeira equação:
c1 + 6 = 3 implies c1 = 3 - 6 implies c1 = -3
E substituindo c3 = 6 na segunda equação:
c2 - 6 = 5 implies c2 = 5 + 6 implies c2 = 11

Resposta

As coordenadas de v = (3,5,6) em relação à base B são:
[-3, 11, 6]

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