No espaço vetorial
, considere a base
. Determine o vetor coordenada de
em relação a base
se:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor
no espaço tridimensional
e uma base
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de
em relação a essa base
. Isso significa que queremos descobrir quais combinações lineares desses três vetores da base vão nos dar o vetor
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o vetor
como uma combinação linear dos vetores da base
. Isso fica assim:
Aqui,
,
e
são as coordenadas que queremos encontrar. Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
Já temos o valor de
diretamente da terceira equação:
. Agora, substituímos esse valor nas outras equações para encontrar
e
.
Substituindo
na primeira equação:
E substituindo
na segunda equação:
Resposta
As coordenadas de
em relação à base
são: