No espaço vetorial , considere a base . Determine o vetor coordenada de em relação a base se:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor no espaço tridimensional e uma base . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de em relação a essa base . Isso significa que queremos descobrir quais combinações lineares desses três vetores da base vão nos dar o vetor . Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Isso fica assim:
Aqui, , e são as coordenadas que queremos encontrar. Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
Já temos o valor de diretamente da terceira equação: . Agora, substituímos esse valor nas outras equações para encontrar e .
Substituindo na primeira equação:
E substituindo na segunda equação:

Resposta

As coordenadas de em relação à base são:

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em .
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