Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a função
é contínua e diferenciável no ponto
. A função é definida assim:
Vamos usar conceitos de continuidade e diferenciabilidade para estudar o comportamento dessa função no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função nesse ponto são iguais. Ou seja, precisamos calcular:
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda (
se aproxima de 1 vindo de valores menores que 1):
Passo 4
Calculando o limite pela direita (
se aproxima de 1 vindo de valores maiores que 1):
Passo 5
Agora, verificamos o valor da função em
:
Passo 6
Como os três valores são iguais (
), concluímos que a função
é contínua em
.
Passo 7
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela é contínua nesse ponto e se o limite do quociente da diferença existe. Vamos calcular a derivada à esquerda e à direita em
.
A derivada à esquerda (
se aproxima de 1 vindo de valores menores que 1):
Expandindo
:
Passo 8
A derivada à direita (
se aproxima de 1 vindo de valores maiores que 1):
Passo 9
Como as derivadas à esquerda e à direita são diferentes (
e
respectivamente), a derivada geral em
não existe. Portanto, a função não é diferenciável em
.
Resposta
A função
é contínua em
, mas não é diferenciável nesse ponto.
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Determine $f
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
, sendo
e
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas: $\left[\sec \left(\sqrt{x^{2}+1}\right)\right]