Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a função é contínua e diferenciável no ponto . A função é definida assim:
Vamos usar conceitos de continuidade e diferenciabilidade para estudar o comportamento dessa função no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . Uma função é contínua em um ponto se o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função nesse ponto são iguais. Ou seja, precisamos calcular:

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda ( se aproxima de 1 vindo de valores menores que 1):

Passo 4

Calculando o limite pela direita ( se aproxima de 1 vindo de valores maiores que 1):

Passo 5

Agora, verificamos o valor da função em :

Passo 6

Como os três valores são iguais ( ), concluímos que a função é contínua em .

Passo 7

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela é contínua nesse ponto e se o limite do quociente da diferença existe. Vamos calcular a derivada à esquerda e à direita em .
A derivada à esquerda ( se aproxima de 1 vindo de valores menores que 1):
Expandindo :

Passo 8

A derivada à direita ( se aproxima de 1 vindo de valores maiores que 1):

Passo 9

Como as derivadas à esquerda e à direita são diferentes ( e respectivamente), a derivada geral em não existe. Portanto, a função não é diferenciável em .

Resposta

A função é contínua em , mas não é diferenciável nesse ponto.

Exercícios relacionados

Determine $f
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto , sendo e
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas: $\left[\sec \left(\sqrt{x^{2}+1}\right)\right]