Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas: $\left[\sec \left(\sqrt{x^{2}+1}\right)\right]

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver a derivada da função usando a regra da cadeia. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções compostas. Vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia passo a passo para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas da função composta. Aqui, temos duas funções dentro de uma função: a função exterior é e a função interior é . Para derivar f(x), precisamos derivar a função exterior em relação a u e multiplicar pela derivada da função interior em relação a x.

Passo 3

Vamos começar derivando a função exterior. Sabemos que a derivada de em relação a u é . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interior . Podemos reescrever isso como . Usando a regra do poder, a derivada de u em relação a x é:

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de f(x) em relação a x é o produto da derivada da função exterior pela derivada da função interior:

Passo 6

Agora, substituímos u de volta por :

Resposta

A derivada da função é:

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