Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a função
é contínua e diferenciável no ponto
. A função é diferente dependendo se
é menor ou igual a 1, ou maior que 1. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções. Vamos precisar calcular os limites laterais e as derivadas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em
. Para isso, precisamos ver se o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima pela direita e também igual ao valor da função em
.
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda (
):
Passo 4
Calculando o limite pela direita (
):
Passo 5
Agora, vemos o valor da função em
:
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função, concluímos que
é contínua em
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade. Para isso, precisamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita em
e ver se são iguais.
Passo 7
Calculando a derivada pela esquerda (
):
Então, em
:
Passo 8
Calculando a derivada pela direita (
):
Então, em
:
Passo 9
Como as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais (
), a função
é diferenciável em
.
Resposta
A função
é contínua e diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule, onde existir, a derivada das funções abaixo:
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
Mostre que
é derivável em
e esboce o gráfico da função
.