Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a função é contínua e diferenciável no ponto . A função é diferente dependendo se é menor ou igual a 1, ou maior que 1. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções. Vamos precisar calcular os limites laterais e as derivadas em .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . Para isso, precisamos ver se o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima pela direita e também igual ao valor da função em .

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda ( ):

Passo 4

Calculando o limite pela direita ( ):

Passo 5

Agora, vemos o valor da função em :
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função, concluímos que é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade. Para isso, precisamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita em e ver se são iguais.

Passo 7

Calculando a derivada pela esquerda ( ):
Então, em :

Passo 8

Calculando a derivada pela direita ( ):
Então, em :

Passo 9

Como as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais ( ), a função é diferenciável em .

Resposta

A função é contínua e diferenciável no ponto .

Exercícios relacionados

Calcule, onde existir, a derivada das funções abaixo:
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
Mostre que é derivável em e esboce o gráfico da função .