Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto
:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa estudar se a função
é contínua e diferenciável no ponto
. A função é definida assim:
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções em um ponto específico. Vamos passo a passo verificar cada um desses conceitos no ponto
.
Passo 2
Verificando a Continuidade em
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto
se três condições forem atendidas:
- Existência de
: A função está definida em . - Existência dos Limites Laterais em
: Os limites quando se aproxima de pela esquerda e pela direita existem. - Igualdade do Limite com o Valor da Função em
: O limite quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
1. Valor da Função em
:
Como
está na condição
, usamos a primeira parte da função:
2. Limite pela Esquerda (
):
Quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
3. Limite pela Direita (
):
Quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
4. Comparando os Limites com o Valor da Função:
Como todas as condições são satisfeitas, a função
é contínua no ponto
.
Passo 3
Verificando a Diferenciabilidade em
Agora, vamos verificar se a função é diferenciável em
. Para isso, precisamos calcular a derivada da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita, e verificar se elas são iguais.
1. Derivada pela Esquerda (
):
Quando
, a função é
. A derivada é:
Então, o limite da derivada pela esquerda é:
2. Derivada pela Direita (
):
Quando
, a função é
. A derivada é:
Então, o limite da derivada pela direita é:
3. Comparando as Derivadas:
Como as derivadas pelas duas direções são iguais, a função
é diferenciável no ponto
.
Resposta
A função
é contínua e diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
A equação $y
Utilizando regras de derivação, calcule a derivada:
Utilizando regras de derivação, calcule a derivada:
Seja
uma função derivável num ponto
. Calcule
.