Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto : .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa estudar se a função é contínua e diferenciável no ponto . A função é definida assim:
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções em um ponto específico. Vamos passo a passo verificar cada um desses conceitos no ponto .

Passo 2

Verificando a Continuidade em
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se três condições forem atendidas:
  1. Existência de : A função está definida em .
  2. Existência dos Limites Laterais em : Os limites quando se aproxima de pela esquerda e pela direita existem.
  3. Igualdade do Limite com o Valor da Função em : O limite quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .
1. Valor da Função em :
Como está na condição , usamos a primeira parte da função:
2. Limite pela Esquerda ( ):
Quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
3. Limite pela Direita ( ):
Quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
4. Comparando os Limites com o Valor da Função:
Como todas as condições são satisfeitas, a função é contínua no ponto .

Passo 3

Verificando a Diferenciabilidade em
Agora, vamos verificar se a função é diferenciável em . Para isso, precisamos calcular a derivada da função quando se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita, e verificar se elas são iguais.
1. Derivada pela Esquerda ( ):
Quando , a função é . A derivada é:
Então, o limite da derivada pela esquerda é:
2. Derivada pela Direita ( ):
Quando , a função é . A derivada é:
Então, o limite da derivada pela direita é:
3. Comparando as Derivadas:
Como as derivadas pelas duas direções são iguais, a função é diferenciável no ponto .

Resposta

A função é contínua e diferenciável no ponto .

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A equação $y
Utilizando regras de derivação, calcule a derivada:
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Seja uma função derivável num ponto . Calcule .