Seja uma função derivável num ponto . Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o limite , onde é uma função que tem derivada no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de limites e derivadas. Para resolver, vamos precisar usar a definição de derivada e algumas técnicas de manipulação de expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de em , escrita como , é definida por:
Mas na nossa questão, o denominador é em vez de . Então, precisamos relacionar essas duas expressões.

Passo 3

Observamos que pode ser manipulada para se relacionar com . Vamos multiplicar o numerador e o denominador por para racionalizar o denominador:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão no nosso limite original:
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, percebemos que é exatamente a definição da derivada de em , ou seja, . Além disso, . Então, podemos separar os limites:

Resposta

Exercícios relacionados

Utilizando regras de derivação, calcule a derivada:
Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto : .
Calcule, onde existir, a derivada das funções abaixo:
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas: