Seja
uma função derivável num ponto
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o limite
, onde
é uma função que tem derivada no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de limites e derivadas. Para resolver, vamos precisar usar a definição de derivada e algumas técnicas de manipulação de expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de
em
, escrita como
, é definida por:
Mas na nossa questão, o denominador é
em vez de
. Então, precisamos relacionar essas duas expressões.
Passo 3
Observamos que
pode ser manipulada para se relacionar com
. Vamos multiplicar o numerador e o denominador por
para racionalizar o denominador:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão no nosso limite original:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, percebemos que
é exatamente a definição da derivada de
em
, ou seja,
. Além disso,
. Então, podemos separar os limites:
Resposta
Exercícios relacionados
Utilizando regras de derivação, calcule a derivada:
Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto
:
.
Calcule, onde existir, a derivada das funções abaixo:
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas: