Seja f uma função derivável num ponto p in(0,+infty[. Calcule lim x p f(x)-f(p)raizx-raizp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o limite , onde é uma função que tem derivada no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de limites e derivadas. Para resolver, vamos precisar usar a definição de derivada e algumas técnicas de manipulação de expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de f'(p) = limx to p f(x) - f(p)x - p em , escrita como , é definida por:
Mas na nossa questão, o denominador é em vez de . Então, precisamos relacionar essas duas expressões.

Passo 3

Observamos que raizx - raizp = (raizx - raizp)(raizx + raizp)raizx + raizp = x - praizx + raizp pode ser manipulada para se relacionar com raizx - raizp = x - praizx + raizp . Vamos multiplicar o numerador e o denominador por para racionalizar o denominador:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão no nosso limite original:
limx to p f(x) - f(p)raizx - raizp = limx to p f(x) - f(p)x - praizx + raizp = limx to p (f(x) - f(p))(raizx + raizp)x - p
Simplificando, temos:
limx to p f(x) - f(p)x - p (raizx + raizp)

Passo 5

Agora, percebemos que limx to p f(x) - f(p)x - p cdot limx to p (raizx + raizp) = f'(p) cdot 2raizp é exatamente a definição da derivada de em , ou seja, . Além disso, . Então, podemos separar os limites:

Resposta

lim x p f(x)-f(p)raizx-raizp = 2 f'(p) raizp

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