Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
$(a) a;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir o intervalo de convergência da série de potências . Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e convergência, e vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar tanto o intervalo quanto o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para deixar tudo mais claro. A série dada é:
Isso mostra que a série é uma série geométrica, onde cada termo é .

Passo 3

Para séries de potências, usamos o Teste da Razão para encontrar o intervalo de convergência. O teste diz que uma série converge se:
Aplicando isso na nossa série:
Então, temos:

Passo 4

Agora, resolvemos a inequação:
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 5

Com o raio de convergência, podemos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que , então:
Isso significa que a série converge para todo dentro desse intervalo.

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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