Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir o intervalo de convergência da série de potências . Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e convergência, e vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar tanto o intervalo quanto o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para deixar tudo mais claro. A série dada é:
Isso mostra que a série é uma série geométrica, onde cada termo é .
Passo 3
Para séries de potências, usamos o Teste da Razão para encontrar o intervalo de convergência. O teste diz que uma série converge se:
Aplicando isso na nossa série:
Então, temos:
Passo 4
Agora, resolvemos a inequação:
Isso nos dá o raio de convergência.
Passo 5
Com o raio de convergência, podemos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que , então:
Isso significa que a série converge para todo dentro desse intervalo.
Resposta
O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .