(2,0 pontos) Encontre os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais sn e encontre uma fórmula para sn em termos de n :
sumn=1^infty 2(4 n-3)(4 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os quatro primeiros termos das somas parciais da série infinita e também uma fórmula geral para em função de . Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar expressões racionais em partes mais fáceis de somar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 2(4n-3)(4n+1) = A4n-3 + B4n+1 em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de duas frações com denominadores mais simples. Então, assumimos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 2 = A(4n+1) + B(4n-3) e 2 = (4A + 4B)n + (A - 3B) . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 4A + 4B = 0 A - 3B = 2 :
Expandindo, temos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos de e os termos constantes devem ser iguais nos dois lados. Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: =>
Substituindo na segunda equação: => =>
Então,

Passo 5

Agora que temos 2(4n-3)(4n+1) = 1/24n-3 - 1/24n+1 e , podemos reescrever a fração original:
Isso simplifica a soma, pois muitas parcelas vão se cancelar quando somarmos vários termos.

Passo 6

Vamos agora calcular os quatro primeiros termos das somas parciais sn = sumk=1^n ( 1/24k-3 - 1/24k+1 ) :
s1 = 1/21 - 1/25 = 12 - 110 = 25
Vamos fazer as somas para s2 = ( 12 - 110 ) + ( 15 - 114 ) = 25 + 970 = 2935 :
  • Para s3 = s2 + ( 19 - 118 ) = 2935 + 118 = 587630 :
s4 = s3 + ( 113 - 122 ) = 587630 + 9286 = 20812310
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Os quatro primeiros termos das somas parciais são:
s1 = 25, s2 = 2935, s3 = 587630, s4 = 20812310
Além disso, a fórmula geral para sn = 12 ( 1 - 14n+1 ) em termos de é:

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