(2,0 pontos) Encontre os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais e encontre uma fórmula para em termos de :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os quatro primeiros termos das somas parciais da série infinita e também uma fórmula geral para em função de . Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar expressões racionais em partes mais fáceis de somar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de duas frações com denominadores mais simples. Então, assumimos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Expandindo, temos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos de e os termos constantes devem ser iguais nos dois lados. Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: =>
Substituindo na segunda equação: => =>
Então,

Passo 5

Agora que temos e , podemos reescrever a fração original:
Isso simplifica a soma, pois muitas parcelas vão se cancelar quando somarmos vários termos.

Passo 6

Vamos agora calcular os quatro primeiros termos das somas parciais :
Vamos fazer as somas para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Os quatro primeiros termos das somas parciais são:
Além disso, a fórmula geral para em termos de é:

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