(2,0 pontos) Encontre os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais
e encontre uma fórmula para
em termos de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os quatro primeiros termos das somas parciais
da série infinita
e também uma fórmula geral para
em função de
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar expressões racionais em partes mais fáceis de somar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de duas frações com denominadores mais simples. Então, assumimos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Expandindo, temos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos de
e os termos constantes devem ser iguais nos dois lados. Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
=>
Substituindo na segunda equação:
=>
=>
Então,
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Isso simplifica a soma, pois muitas parcelas vão se cancelar quando somarmos vários termos.
Passo 6
Vamos agora calcular os quatro primeiros termos das somas parciais
:
Vamos fazer as somas para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os quatro primeiros termos das somas parciais são:
Além disso, a fórmula geral para
em termos de
é:
Exercícios relacionados
Notações para as Derivadas Parciais
, escrevemos
Descreva o gráfico das seguintes funções.
Calcule as derivadas de:
Estude as convergências das sequências
: